т.1

73 - 74 - 75 - 76

Трансформация уравнения неразрывности в нелинейных моделях

73

Взяв в (9) предел t 0 , _kl 0 , получим 

Подставляя (10) в (7), получим 

и, поскольку вдоль эквипотенциальных линий v = const,

Возвращаясь к (5), подставим в него полученное значение интеграла правой части (11). При этом, учитывая, что второй интеграл в (11) при стягивании выделенного объема имеет порядок малости выше порядка малости дифференциала по V, получим 

или

74

Дифференциальное уравнение (12) отличается от известного уравнения, описывающего сохранение потока вектора в выделенном объеме, слагаемым 

учитывающим временную задержку распространения потока сплошной среды при изменении производительности источника. 

Если теперь подставить в (12) значение (, t) из (1), то получим

Исходя из условия потенциальности потока, можно утверждать, что на поверхности S₂ выделенного потока 

Следовательно, (13) примет вид

Поскольку по условию задачи v зависит от времени опосредованно через плотность сплошной среды в исследуемой точке объема, то 

75

и (15) преобразуется к виду 

Выражение (17) отличается от известного уравнения неразрывности членом 

который в случае малых возмущений (v = const) обращается в ноль, приводя (17) к известному уравнению. В области нелинейной зависимости добавкой (18) пренебрегать нельзя.

Таким образом, можно считать доказанным, что при переходе в область нелинейных характеристик процессов в сплошной среде уравнение неразрывности не сохраняет свой вид, как это подразумевалось прежде, а трансформируется в зависимости от характера нелинейности исследуемого процесса. Причем наиболее общая форма уравнения неразрывности будет отличаться и от полученного здесь выражения, поскольку последнее учитывает только нелинейность параметра v при линейности остальных параметров и потенциальность потока сплошной среды.

76

Литература:

  1. Каравашкин С.Б. К вопросу о продольных электромагнитных волнах. Глава 1. Снятие запретов. SELF Transactions, 1 (1994), с. 15- 47