СЕЛФ

86 - 88

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Приведенные выводы также демонстрируют независимость вида полного дифференциала от способа представления z.

И наконец, при = 0

Если отвлечься от принципа сравнения частных дифференциалов dx, dy и совместить пределы, взятые от системы уравнений (11), с выражением (20), то получим

т.е. известное значение полного дифференциала, что полностью подтверждает справедливость идентификации dz  в форме (20) с полным дифференциалом.

Определим теперь дифференциал w в точке w₀ при условии, что

87

существует однозначное отображение -окрестности комплексной плоскости z в -окрестность комплексной плоскости w. Как было показано ранее, в наиболее общем виде функция комплексного переменного может быть представлена в виде

Приращение функции в точке w₀ будет иметь вид

Из выражения (21) видно, что w зависит, как и z, от одной переменной - . Таким образом, можно записать

и

Используя полученные значения дифференциалов независимой переменной z и комплексной функции w( z ), несложно получить выражение для полной производной комплексной функции. Для этого воспользуемся выражениями (9), (20) и (22):

Чтобы найти форму представления полной производной комплексного переменного от z, представленного в координатной форме, воспользуемся выражением (2). При этом (23) примет следующий вид: