Том 4 (1999), No 4, сс. 5-13

7

Решение для конечных упругих линий с сосредоточенными параметрами

3.1. Вынужденные колебания в линии с незакрепленными началом и концом

На рис. 2 представлена механическая модель конечной линии с незакрепленными началом и концом. 

Рис. 2. Механическая модель конечной линии с незакрепленными началом и концом

Этой модели соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

где, как и в [1], _i - мгновенное продольное смещение i-го элемента линии; F (t) - внешняя сила, воздействующая на линию, равная  F (t) = F₀ e ; F₀ - амплитуда внешней силы.

Как и для бесконечных линий, система (12) имеет в общем случае три принципиально различных решения в зависимости от соотношения между величиной и единицей, где параметр

s - коэффициент жесткости линии.

3.1.1 Для конечных линий периодическое решение, соответствующее < 1, имеет вид:

где параметр

.

This solution describes standing waves, which is determined by the constant phase delay of vibrations for all line elements. But unlike the conventional solutions (6), the exact solution structure has basically other form. With

в линии будет наблюдаться бесконечный резонанс. В остальных же случаях амплитуда колебаний конечна и определяется величиной sin 2n . При

она будет минимальна, но в ноль не обратится, как мы привыкли ожидать в резонансных линиях. Характерный вид колебаний приведен на рис. 3. Но главное, что следует из полученных решений – что колебания в линии не ограничиваются критической частотой.

Рис. 3. Характерный вид колебаний для конечных линий при периодическом режиме (m = 0,01 кг, s = 100 Н/м, a = 0,01 м, n = 8, F₀ = 0,6 Н, f = 15 Гц)

3.1.2 В апериодическом режиме, который соответствует >1 , решение имеет вид:

где

Как и в случае бесконечных линий в работе [1], мы имеем возможность наблюдать противофазные колебания, но затухающие не столь быстро, как в бесконечных линиях. В конечных линиях затухание распределяется вдоль всей линии. Кстати, в работе [1] при анализе свободных колебаний говорилось о сходстве между картинами колебаний для конечных и бесконечных линий и о том, что затухание в случае апериодического режима идет от точки введения энергии в колебательную систему. На рис. 4 можно наблюдать именно это явление, когда затухание идет от первого элемента к последнему, равномерно распределяясь вдоль всей линии, что подтверждает аналогию, указанную в работе [1].

3.1.3. Интересны изменения и для критического режима, соответствующего = 1:

В конечной линии эти колебания носят затухающий характер, а не сохраняют свою амплитуду, как в бесконечных линиях, но в отличие от апериодического режима затухание имеет не степенной характер, а линейный. Указанные особенности можно наблюдать на диаграмме, приведенной на рис. 4.

Рис. 4. Затухание при критическом режиме (f = f_crit = 31,8 Гц. Значения остальных параметров то же, что и на рис. 3)