Материалы, Технологии, Инструменты

12

С.Б. Каравашкин

в левой части:

в правой части:

Как видим, выражение (48) достаточно просто удовлетворяет неполному дифференциальному уравнению системы (45), описывающей конечную линию с закрепленным концом, как (32) удовлетворяло дифференциальному уравнению системы (29) для линии с незакрепленным концом.

4. Допустимость использования в качестве аналога линии с распределенными параметрами

При анализе полученных точных решений для двух представленных конечных линий практически не обсуждался вопрос о картине колебательных процессов, поскольку во многом эта картина сходна со стандартными представлениями. Хотя есть и некоторые отличия.

Например, привычно считать, что если конец упругой линии свободен, то будет наблюдаться пучность смещения конечного элемента, а если конец жестко закреплен – то будет наблюдаться узел. Справедливость последнего утверждения бесспорна, но по отношению к пучности смещения в связи с полученными точными решениями возникают определенные сложности. Если мы посмотрим на выражение (33), определяющее амплитуду свободных колебаний в линии с незакрепленными концами, с точки зрения колебания первого ((i = 1)) и последнего (i = n) элементов этой линии, то получим для амплитуды следующие выражения:

для  i =1

что вполне закономерно, исходя из условия данной задачи;

для  i = n

То есть амплитуда для последнего элемента линии немного меньше значения, соответствующего пучности смещения. Причем разница исчезает по мере перехода к линии с распределенными параметрами.

В целом, указанное различие между линиями с сосредоточенными и распределенными параметрами является характерным. Ранее, в том числе и в работе [1], мы уже сталкивались с этим в вопросе о фазе запаздывания t , принципиальном с точки зрения точности описания характера колебательного процесса в линии. Все это свидетельствует о том, что если мы стремимся к точности описания процессов в линии, то мы не имеем права в общем случае использовать в качестве базовой модели для линии с сосредоточенными параметрами аналог линии с распределенными параметрами. Тем более, что указанные различия не ограничиваются фазовыми и амплитудными отклонениями, но отражаются и на самой картине колебательного процесса, что будет показано в последующих статьях данного цикла.

5. Полнота полученных решений

В данной работе, как и в [1], приведены решения для двух типов конечных линий, которые охватывают весь частотный диапазон и описывают как вынужденные, так и свободные колебания. При этом все приведенные решения точны и удовлетворяют соответствующим системам дифференциальных уравнений. Тем самым подтверждаются полнота и точность представленных решений, а также способность методики исследовать процессы колебаний не только в бесконечных, но и в конечных однородных упругих линиях.

6. Выводы

Проведенные исследования выявили ряд существенных недостатков в известных решениях для одномерных упругих линий, что не позволяет считать эти решения объемлющими для конечных линий.

Точные аналитические решения, получаемые с помощью оригинальной методики, показывают, что в общем случае в конечной идеальной упругой линии, как и в бесконечной, имеют место три режима колебаний, существенно отличных по своим свойствам.

Периодический режим характерен образованием в линии стоячей незатухающей волны.

Апериодический режим характерен затухающим вдоль всей линии процессом, при котором соседние элементы линии колеблются в противофазе.

Критический режим, в отличие от бесконечных линий, характеризуется затухающим вдоль всей линии процессом при противофазном колебании соседних элементов. Однако в отличие от апериодического режима, затухание от элемента к элементу происходит по линейному, а не степенному закону.

Все выявленные режимы колебаний являются различными формами общего решения, что полностью сохраняет справедливость теоремы о единственности решений дифференциальных уравнений.

Выявленные режимы в конечных линиях присущи только вынужденным колебаниям. Свободные колебания могут существовать только в области периодического режима.