89

Влияние излома на картину колебательного процесса в линии

В первую очередь отметим, что согласно стандартному правилу преобразования координат мы имеем право в (1) и (3) сделать замену для параметров, описывающих смещение k-й массы, находящейся на изломе линии

При этом аналогичная связь будет справедлива и для остальных элементов линии, расположенных после излома. Учитывая это, умножим (2) на cos , (4) на sin   и почленно вычтем (4) из (2). После соответствующих преобразований получим:

Умножая (2) на sin , (4) на cos   и, складывая почленно, получим

Совмещая (1), (3), (6), (7) с учётом (4), мы видим, что преобразованная система дифференциальных уравнений уже не зависит от угла . Следовательно, и решения не будут изменяться при появлении излома упругой линии.

В противоположность этому, если продольная и поперечная жёсткости упругой линии будут различными, то в исходных моделирующих системах дифференциальных уравнений мы обязаны в (1) и (2) ввести жёсткость  s_lt , а в (3) и (4) соответственно жёсткость s_tr и s_tr s_lt . После этого, как несложно убедиться, все попытки преобразования системы ( , )  в (x, y)  для уравнений элементов линии, расположенных после излома, не приведут к упрощениям, подобным вышеописанным. Угол сохранится в моделирующей системе уравнений, а следовательно, он будет фигурировать и в решениях, описывающих колебательный процесс. В этом случае упругую систему необходимо рассматривать как имеющую дополнительную особенность в точке излома. Различие значений продольной и поперечной жёсткости связей приведёт к различию скоростей распространения волны вдоль линии и появлению сложных картин колебательного процесса, что требует дополнительного исследования.

Доказанная теорема легко может быть расширена на обобщённые координаты упругой системы. Вместе с тем, сущность доказанного утверждения не может быть заменена самим определением обобщённых координат, поскольку согласно теореме, при условии равенства продольной и поперечной жёсткости происходит значительное упрощение моделирующей системы уравнений и последняя вместо двух систем (, ) и  (x, y) может быть приведена к общей системе (x, y)  с исключением влияния угла излома .

В данной статье мы определим решение для некоторых моделей упругих линий, в исследовании которых применима доказанная теорема и которые широко применяются в прикладных задачах.