104

С.Б. Каравашкин т О.Н. Каравашкина

The possibility itself to generalise the definition of differentiability of functions of complex variable, with remaining the analyticity definition, means not only broadening the domain in which the definition 1 is true, but reflects the essential transformation of concept of the differential and derivative of a complex function. To explain, consider some point   in the  -vicinity of the point   and its mapping into the point   located in the  -vicinity of the point   (see Fig. 4). Basing on this construction, we can write as follows:

Сама возможность обобщения определения дифференцируемости функций комплексного переменного при сохранении определения аналитичности означает не только расширение области справедливости определения 1, но является отражением существенной трансформации представлений о дифференциале и производной комплексной функции. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим некоторую точку z₁ , расположенную в - окрестности точки z₀ , и её отображение в точку w₁, расположенную в -окрестности точки w₀   (см. рис. 4). На основе приведенного построения мы можем записать:

Тогда

Выражение (13) показывает, что при отображении в комплексной плоскости производная не определяет тангенс угла наклона касательной в исследуемой точке, как в случае действительного переменного, но характеризует геометрическую трансформацию контура при отображении. И это естественно должно отразиться и в формулировке определений.

Вместе с тем, несложно проследить причину появления требования равенства пределов в определении 2 построенного по аналогу условий дифференцируемости функций одного действительного переменного, где требование равенства пределов формулировалось следующим образом:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: "Число b называется предельным значением функции y = f (x)в точке x = a (или пределом функции при x a) если для любой сходящейся к a последовательности x₁,  x₂, ...,  x_n, .. значений аргумента x, элементы z_n   которой отличаются от a (x_n a), соответствующая последовательность f(x₁),  f(x₂), ...,  f(x_n), .. значений функции сходится к b" [5, стр.98, подчёркнуто авт.]. Это подтверждает и Шилов: "Это определение ( (2). авт.) производной от функции комплексного переменного по форме напоминает определение производной от вещественной функции в вещественной области. Определение производной от функции вещественного переменного является частным случаем приведенного… Однако при внешнем сходстве между производной в вещественной и в комплексной областях имеется ряд существенных отличий." [6, стр. 397].

Для функций действительного переменного указанная жёсткость определения 3 вполне оправдана, поскольку обусловлена тем, что в этом случае под понятием любой сходящейся последовательности понимается некоторое счётное множество x₁,  x₂, ...,  x_n, ... отображаемое на предполагаемую гладкую одномерную кривую в - окрестности точки b = f(a) . Вследствие этого, можно говорить, что множество S, образованное из элементов последовательности x₁ ,  x₂, ...,  x_n, ... является всюду плотным, вложенным для счётного множества C всех последовательностей, сходящихся к точке a.

В случае комплексных функций мы имеем дело с двумерным отображением области определения Z на двумерную область значений W. При этом, каждая дуга в - окрестности точки z₀ имеет свой единственный (в случае однозначности отображения) образ в - окрестности точки w₀ ,  да и сами - и - окрестности становятся двумерными. Вследствие этого, множество S , образованное из элементов последовательности z₁,  z₂, ...,  z_n, ..., хотя и будет оставаться вложенным в множество последовательностей C , сходящихся к z₀ , но перестаёт быть всюду плотным в множестве C, поскольку составлено только их элементов, принадлежащих одной дуге из множества дуг, пересекающихся в точке z₀. Эта особенность требует как учёта сходимости всех последовательностей вдоль одного направления, так и учёта всех направлений стягивания. Однако, последнее обстоятельство не отразится на обосновании самого предела для каждой из последовательностей, поскольку все они сходятся к общей точке z₀, а их образы к w₀. Скорости же стягивания по разным направлениям в общем случае могут быть и различными.