| т.2 No 2 | 33 |
| Исследование нелинейности упругой связи | |
|
|
Используя этот, в общем-то, стандартный алгебраический метод выделения гармоник, рассмотрим последовательно системы уравнений, входящие в (13) для каждой гармоники в отдельности. Для первой гармоники (при p = 1) образуется строго линейная система уравнений |
|
|
(14) |
| Её решения нам уже известны, поскольку аналогичны (6): | |
|
(15) |
| где i = 1, 2, 3 , | |
|
(16) |
Обращает на себя внимание тот
факт, что в нелинейной динамике для основной
гармоники сохраняются все три режима
колебательного процесса, причём граничная
частота  01 также будет
соответствовать линейному режиму колебаний: |
|
|
(17) |
| Система уравнений для второй гармоники будет следующей: | |
|
(18) |
| Данная система также линейна и соответствует свободным колебаниям в упругой линии с жёсткостью s1. Из (18) видно, что в случае, когда воздействующая сила F(t) не имеет второй гармоники, и/или коэффициент жёсткости не имеет квадратичного члена разложения, и/или по условию задачи в системе отсутствуют свободные колебания, справедливо равенство | |
|
(19) |
Но данный результат не является общим. Если любое из вышеуказанных условий будет нарушено (а не только отсутствие квадратичного члена в разложении по степеням коэффициента жёсткости, как это принято считать), то вторая гармоника будет присутствовать в нелинейном динамическом процессе, создавая эффект гистерезиса в картине колебаний. И эту особенность желательно учитывать при решении задач нелинейной динамики. Система уравнений для третьей гармоники может быть представлена в виде |
|
|
(20) |
| где | |
|
(21) |
Так как все
величины |
|
i1,
входящие в Qi3, нам уже известны, то
система (20) также сводится к линейной,
описывающей колебания в упругой линии с
жёсткостью s1. Нелинейный же
коэффициент s3 определяет амплитуду
эквивалентных сил Qi3, воздействующих
на соответствующие элементы упругой линии.
Причём, кроме s3, в выражения (21) входят
и мгновенные смещения 