т.3 No 1

41

О природе метагалактического красного смещения

Для поиска решения, разобьем выделенный нами сектор на элементарные объёмы равной толщины r  и преобразуем линию с распределёнными параметрами в линию с сосредоточенными параметрами, как показано на рис. 7.

Рис. 7. Модель упругой линии с сосредоточенными параметрами, соответствующая сферическому сектору.

При этом, нумерация элементов образовавшейся линии может быть введена следующим способом:

Далее, на основе построения и выражения (57), масса i -го элемента данной линии равна

Вместе с изменением элементарных объёмов изменяется и упругость связей s_i  между элементами линии. Действительно, "нельзя говорить о напряжениях, не указывая сечения, через которое происходит передача этого напряжения. Поэтому говорят о напряжении на такой-то площадке" [17, стр. 21]. Поскольку упругость связи в линии с сосредоточенными параметрами определяется как отношение жёсткости связи к расстоянию между элементами [18, стр. 95], то

Наконец вязкость упругой среды мы учтём, введя в моделирующие дифференциальные уравнения дополнительные силы сопротивления, подчиняющиеся ранее указанной стандартной зависимости (55). При этом нам необходимо учесть, что для каждого из элементов упругой линии градиенты скорости по отношению к соседним элементам будут, в общем случае, различными. Поэтому зависимость (55) в нашем случае распадается на две - для правого и для левого элементов соответственно:

где y_i  - поперечное смещение i - го элемента упругой линии.

На основе установленных зависимостей, моделирующая система дифференциальных уравнений примет следующий вид:

Исходя из того, что по постановке задачи нас интересует закон распространения волны вне области возмущения, нам достаточно исследовать общий член системы (61):

Подставляя в (62) выражения (56) - (61), получим

Устремляя r  к нулю, окончательно получим волновое уравнение, описывающее распространение возмущения в упругом бесконечном пространстве с вязкостью :

Используя стандартное преобразование (см. например [19, стр. 139]):

мы можем упростить правую часть выражения (64), представив его в следующем виде:

где = ry ,  c² = /  - скорость распространения волны в идеальной невязкой среде.