СЕЛФ

76

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Действительно, поместим рамку в магнитном поле самого общего вида:

где _B - единичный вектор направления магнитного поля, а - вектор площади рамки, которую пересекает это магнитное поле.

Для записи выражения эдс индукции по Фарадею, мы теперь должны учитывать неоднородность рассматриваемого поля и связанную с этим неоднородность эдс, наводимых вдоль подвижной стороны рамки. Поэтому общее выражение имеет интегральную форму и записывается в векторном виде:

Согласно свойствам скалярного произведения (см., например, [3, с. 160]), а также с учётом (6) и того факта, что изменяется размер только одной стороны рамки, мы можем преобразовать правую часть (13) к виду:

Рассчитывая эдс индукции по Максвеллу, мы должны записать:

При этом мы приходим к выражению (14), с той лишь разницей, что в (14) производная по времени берётся только по площади рамки, а в (15) эта производная берётся от всего интеграла в целом. С точки зрения математического анализа сравниваемые выражения внешне не идентичны. Однако если учесть, что само магнитное поле не зависит от времени, а изменяется только площадь контура, то в этом случае мы должны в (15) внести производную по времени под знак интеграла несколько необычным образом, продифференцировав не подынтегральную функцию, а сам дифференциал площади контура (!). В результате получим:

При всей необычности преобразования несложно показать, что никаких нарушений теорем математического анализа при этом не происходит и в действительности дифференцируется не переменная, по которой производится интегрирование, а сама подынтегральная функция. Для этого докажем теорему.

ТЕОРЕМА 1. Если в интеграле

подынтегральная функция f (l)  не зависит явно от времени t , а граница интегрирования

то справедливо равенство

Действительно, если подынтегральная функция не зависит от времени явно, а интегрирование производится по переменной l, то интеграл I тоже не зависит от времени явно. При этом справедлива цепочка преобразований

что и требовалось доказать.

Для нашего случая потока вектора магнитной индукции B (S), когда интегрирование осуществляется по сечению рамки, мы можем записать (15) в виде

При этом интеграл

является для интеграла по h подынтегральной функцией. Поэтому в соответствии с теоремами математического анализа и учитывая, что граница интегрирования по h от времени не зависит, мы имеем право внести производную по времени под знак интеграла. При этом получим

Как мы видим, согласно условию задачи, подынтегральная функция в (23) полностью удовлетворяет условиям теоремы 1. Вследствие этого согласно (19) мы можем произвести замену в (23). При этом получим

что совпадает с выражением (14), описывающим процесс по Фарадею.

Проведенное исследование свидетельствует, что если подходить к процессу индукции узко, беря за основу движение стороны рамки в магнитном поле, то трактовки Фарадея и Максвелла действительно математически неразличимы. Однако с точки зрения феноменологии процесса различие есть, и существенное. Если рассматривать процесс индукции с точки зрения трактовки Фарадея, то сущность процесса индукции определяется прямым взаимодействием магнитного поля с проводником, движущимся в этом поле. Но если описывать процесс с позиций Максвелла, то получается, что заряды проводника взаимодействуют со всем полем, которое пересекает рамку, в том числе и с тем, где сами заряды отсутствуют. При этом мы должны предположить особую "информированность" зарядов проводника относительно поля вне их местоположения. Не зря Штрауф, говоря о вышеуказанных формулировках, специально оговаривал: "При практическом применении формулировок не следует забывать, что   следует придавать различное толкование в зависимости от того, вычисляется ли U_ind, возникающая в отрезке провода или в замкнутом контуре" [2, стр.416].