т.5 No 1

21

О продольном возмущении упругой среды с подвижной границей

С учётом вышеописанного, мы можем построить модель распространения возмущения в подвижной системе отсчёта, не учитывая трансформации меры пространства и времени. Однако прежде, чем мы запишем уравнения прямой и отражённой волн, определим время, которое требуется возмущению для прохождения некоторого заданного интервала с точки зрения подвижной системы отсчёта. Для этого представим, что в некоторый момент t₁ источником излучён фронт волны. Выберем на оси x неподвижной системы отсчёта точку А таким образом, чтобы она находилась внутри исследуемого нами промежутка и смещалась с этим промежутком с той же скоростью v.

Рис. 5. Схема для расчёта времени, которое необходимо фронту волны для прохождения расстояния между источником S и произвольной точкой A внутри исследуемого интервала

Тогда согласно построению, приведенному на рис. 5, фронт волны проходит путь l   от источника S до точки A, равный

откуда

Проводя аналогичные вычисления для фронта волны, отражённой от границы R, получим

В принципе, представленные вычисления временных интервалов, далеко не оригинальны и проводились многими авторами. Мы намеренно повторили их с единственной целью - показать, что с точки зрения подвижной системы отсчёта, (16) и (17) чисто формально могут быть представлены как подтверждения суммирования скорости источника и волны. Тем не менее, как видно из построений и из самого математического вывода, суммирования скоростей не происходит. Здесь сказывается эффект совместного движения источника волны и наблюдателя. Волна же распространяется с неизменной скоростью относительно упругой линии и не зависит от движения самого источника. Форма же колебаний трансформируется, и мы это проследим в ходе проводимого исследования.

Определив времена запаздывания волнового процесса, мы по аналогии с предыдущим пунктом данной работы можем записать выражения для прямой и отражённой волны непосредственно в движущейся системе отсчёта, учтя, что при переходе между системами отсчёта, временные интервалы не трансформируются.

По аналогии с (3) и учитывая (16), смещение элементов линии с точки зрения подвижной системы отсчёта будет иметь вид

Для обратной волны будем иметь

Чтобы в дальнейшем обеспечить себе удобство преобразований, упростим выражения для фаз запаздывания в (18) и (19). Для этого умножим и разделим дроби обеих фаз запаздывания на множители, дополняющие знаменатели до разности квадратов. При этом получим