СЕЛФ

8

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

3. Устойчивость орбитального движения электрона при малых внешних возмущениях

Следующим важным моментом в построении модели является определение устойчивости орбитального движения при малых внешних воздействиях. Для прояснения данного вопроса предположим, что в невозмущённом состоянии электрон движется по круговой орбите. Радиус этой орбиты R₀ определяется балансом силы притяжения между зарядами и центробежной силы, или математически

где q, m_e – заряд и масса электрона, v – орбитальная скорость электрона.

Пусть теперь в результате внешнего воздействия радиус орбиты электрона изменился на некоторую малую величину r (например, увеличился). Тогда выражения для сил в (50), определяющих устойчивость орбиты электрона, можно разложить в ряд Тейлора по малости изменения радиуса. При этом получим

и

где n = 0, 1, 2, ... . Если мы теперь в соответствии со знаком изменения радиуса примем за положительное направление силы от центра динамической системы наружу, то с учётом (51) и (52) можем записать выражение для результирующей силы, возникающей в системе в результате её возмущения:

Учитывая, что первый сомножитель в квадратных скобках обращается в ноль согласно (50), получим

Как мы видим из (54), направление возвращающей силы противоположно направлению изменения радиуса орбиты. Это свидетельствует о том, что орбитальное движение устойчиво.

Кроме того мы видим, что ряд (54) быстро убывающий, что позволяет в случае малых возмущений линериаризовать задачу, приняв в качестве возвращающей силы выражение

где s_s определяет упругость связи.

Основываясь на представленном выводе, мы можем доказать, что радиальное возбуждение орбитального электрона не способно разорвать связь между этим электроном и ядром. Для этого, учитывая быструю сходимость ряда (54), нам достаточно проанализировать условия инверсии знака возвращающей силы для первых трёх членов указанного ряда. Принимая

получим

Инверсия знака (57) может осуществиться при

но выражение в левой части (58) имеет только комплексные корни

Таким образом, при чисто радиальном возбуждении электрона разрыв его связи с ядром невозможен. А следовательно, разрыв связи возможен только при одновременном изменении радиуса и орбитальной скорости электрона, что следует учитывать при моделировании процессов возбуждения.