СЕЛФ

2

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

2.2. Решение задачи путем последовательного перехода через промежуточную систему отсчета

В данном подходе к решению задачи мы будем использовать промежуточную систему отсчета, движущуюся со скоростью одной из проекций скорости S₂ , преобразовывая координаты исходной системы отсчета S₁ в S₂  через посредство этой вспомогательной системы отсчета. И поскольку мы с одинаковым правом можем связать движение промежуточной системы отсчета с любой из двух проекций скорости, то и базовых вариантов решения задачи может быть тоже два. Рассмотрим их оба.

1 ВАРИАНТ решения задачи

В данном варианте мы будем искать выражения, описывающие преобразования путем последовательного перехода из S₁ в некоторую промежуточную систему S' , движущуюся относительно S₁ в направлении положительных значений x₁   со скоростью v_x1 , как показано на рис. 2, а на втором этапе этого варианта перейдем из S'   в S₂ , получив искомый результат.

Рис. 2. Схема движения промежуточной инерциальной системы отсчета S'   вдоль оси x₁ неподвижной инерциальной системе отсчета S₁

Особо хотим отметить, что, как видно из представленного построения, оси x' ,   y' строго параллельны осям x₁, y₁  и никаких поворотов осей системы отсчета S'  по отношению к S₁ или к S₂  в ходе решения задачи не предусмотрено, что будет хорошо видно по выражениям, которые мы будем применять для определения уравнений преобразования координат, как на первом, так и на втором этапе решения задачи. Этот момент мы также докажем впоследствии специально.

I ЭТАП

На этом этапе нам нужно получить формулы преобразования при переходе из S₁ в S' . Это не представляет трудности, поскольку искомые выражения полностью совпадают с выражениями, которыми пользовался Эйнштейн (см. напр. [1, с. 17–18]):

В приведенном выражении и далее мы проекцию на ось z₁ не записываем, поскольку по условию рассматривается плоская задача.

II ЭТАП

Для того, чтобы получить уравнения преобразования из системы отсчета S'   в систему отсчета S₂ , нам нужно определить скорость движения последней относительно S' . Для этого поместим в начало системы отсчета S₂  некоторое тело A₂ , движущееся вместе с ней, как показано на рис. 3.

Рис. 3. Расположение тела A₂   относительно системы отсчета S₂   и S'

Тогда согласно условию задачи, проекции скорости этого тела с точки зрения системы отсчета S₁ будут определяться теми же значениями, что и заданные по условию значения проекций, определяющих движение S₂   относительно S₁ , т.е. v_x1   и v_y1  соответственно.

Чтобы определить скорость и направление движения тела A₂   по отношению к S' , воспользуемся теоремой релятивистского сложения скоростей. В двумерном случае при переходе из неподвижной системы отсчета в подвижную, движущуюся со скоростью v  в положительном направлении оси x  неподвижной СО, данные выражения будут иметь вид (см. напр. [2, с. 31])

где u'_x , u'_y  – проекции скорости тела в подвижной системе отсчета, а u_x ,  u_y  соответственно – проекции скорости в неподвижной системе отсчета.

В решаемой нами задаче

С учетом (3), выражения (2) примут вид

Из (4) мы видим, что A₂   движется относительно S'  строго в положительном направлении оси y' . Поэтому уравнения преобразования из S'  в S₂   будут иметь вид

Теперь для нахождения окончательного решения нам осталось совместить системы уравнений (1) и (5) и учесть (4). При этом для х- проекции получим

для у-проекции получим

где v² = v²_x1 + v²_y1  ,

для t-проекции получим

Выражения (6)–(8) описывают искомые преобразования из системы отсчета S₁ в S₂   с учетом релятивистского преобразования скоростей.

2 ВАРИАНТ решения задачи

Теперь решим задачу вторым способом, изменив путь перехода от S₁ к S₂ . Для этого введем другую дополнительную систему отсчета S" , которая будет двигаться в положительном направлении оси y₁ со скоростью v_y1 , как показано на рис. 4. В этом подходе мы сначала перейдем из S₁   в S" , а затем, используя методику, примененную нами в первом варианте, перейдем из S"   в S₂ , объединив уравнения преобразования в конце решения задачи.

Рис. 4. Схема движения промежуточной инерциальной системы отсчета S"   по оси y₁  неподвижной инерциальной системы отсчета S₁

Из построения на рис. 4 мы видим, что в данном варианте промежуточная система отсчета смещается в положительном направлении оси y₁ , также сохраняя параллельность осей x"  и x₁ , что будет отражено в применяемых выражениях в ходе решения задачи по данному варианту.

Также хотим отметить, что с точки зрения классической физики указанные два подхода к решению задачи приводят к одному решению, поскольку в классическом формализме выполняется правило параллелограмма. В релятивистском формализме это правило не выполняется, и Эйнштейн утверждал, что выполнение правила параллелограмма “основано на произвольных и неприемлемых гипотезах” [3, с. 151]. Что получается в случае “приемлемости” невыполнения правила параллелограмма, мы сейчас увидим.

I ЭТАП

На этом этапе нам нужно перейти из S₁ в S" . Поскольку S"   движется в положительном направлении оси y₁   со скоростью v_y1 , искомые формулы преобразования будут иметь вид, аналогичный (5), а именно

Из выражения (9) видно, что при движении вдоль оси y₁  система отсчета не изменила свою ориентацию по отношению к S₁ , но теперь по сравнению с первым этапом первого варианта (1) трансформации подверглась ось y", а ось x" осталась неизменной, что естественно, поскольку S"  движется по оси y₁ . Об отсутствии же каких-либо поворотов свидетельствует тот простой факт, что в случае, если бы выражение (9) было записано как результат поворота, то проекция x" была бы отрицательна, да и движение осуществлялось бы по оси x" , а не по y", как и временная зависимость имела бы совсем иной вид. Выражение же (9) откровенно представляет собой полный аналог стандартной системы преобразований, с той лишь разницей, что движение подвижной системы отсчета происходит не по привычной оси x₁ , как в (1), а по оси y₁ .

II ЭТАП

Для того, чтобы корректно определить трансформацию скорости v_x1   при переходе в систему отсчета S" , введем, как и в первом варианте, то же самое тело A₂ , неподвижное относительно S₂ , трансформацию скорости которого мы можем легко определить, тем самым определив и скорость системы отсчета S₂  по отношению к S" . Графический вид приведен на рис. 5.

Рис. 5. Расположение тела A₂   относительно систем отсчета S₂   и S"

Поскольку построения на рис. 5 и рис. 3 отличаются только направлением движения промежуточной системы отсчета, то и ранее использованное нами выражение (2) для релятивистского сложения скоростей, в котором мы только должны изменить соответствие параметров, сохранит свою справедливость. В случае движения системы отсчета S"  подстановка будет иметь вид

При этом проекции скорости тела A₂  относительно системы отсчета S"  будут определяться следующими выражениями:

Таким образом, тело A₂   движется относительно системы отсчета S"   строго вдоль оси x" .

С учетом (11), формулы преобразования из S"  в S₂   примут вид, подобный (1):

Для нахождения искомых уравнений преобразования из S₁ в S₂   нам осталось совместить (9) и (12) с учетом (11). При этом получим для х-проекции

Сравнивая (13) с решением для той же проекции в первом варианте (6), мы видим, что решения не совпадают. Данное решение близко к решению для у-проекции с учетом взаимной замены символов х на у и обратно. Но данное сходство неассоциативно с условиями решаемой задачи, поскольку никаких поворотов осей и тем более замены названия осей в задаче не производилось. К тому же, если бы данное сходство было обусловлено именно поворотом на 90^о, то в выражении (13) для сходства с (6) необходимо было бы учесть еще и замену v_x1  на (- v_x1) , что обусловлено изменением направления оси х при повороте. Поскольку же соответствие устанавливается без данной замены проекции скорости, то и указанный поворот отсутствует, а сходство является чисто внешним.

Для у-проекции получим

Преобразования для этой проекции также не соответствуют (7) первого решения, а похожи на решения для х-проекции – опять-таки, с заменой символов х на у и обратно. И это опять-таки некорректно с точки зрения детерминированности процессов в физике.

Наконец, для t-проекции получим

Сравнивая (15) с (8), мы видим полное соответствие решения для временной компоненты.