СЕЛФ

О неоднозначности преобразований  в релятивистском формализме

О неоднозначности преобразований между инерциальными системами отсчета в релятивистском формализме

Итак, по условию задачи, некоторая инерциальная система отсчета S₂ движется относительно неподвижной инерциальной системы отсчета S₁ с некоторой скоростью, проекции которой на оси x₁ и y₁ равны соответственно v_x1 и v_y1 . Требуется найти формулы преобразования координат и времени из S₁ в S₂ в рамках релятивистского формализма.

В данной задаче мы будем четко следовать формализму ТО безотносительно к правомерности и обоснованности последнего как физической теории.

1 ВАРИАНТ решения задачи.

Будем искать выражения, описывающие преобразования путем последовательного перехода из S₁ в некоторую промежуточную систему S' , движущуюся относительно S₁ в направлении положительных значений x₁ со скоростью v_x1 , а на втором этапе перейдем из S' в S₂, получив искомый результат.

I ЭТАП

На этом этапе нам нужно получить формулы преобразования при переходе из S₁ в S' . Это не представляет проблем, поскольку искомые выражения полностью совпадают с выражениями, которыми пользовался Эйнштейн (см. напр. [А. Эйнштейн, К электродинамике движущихся тел, т.1, с. 17–18]):

В приведенном выражении и далее мы проекцию на ось z₁ не записываем, поскольку по условию рассматривается плоская задача.

II ЭТАП

Для того, чтобы получить уравнения преобразования из системы отсчета S' в систему отсчета S₂, нам нужно определить скорость движения последней относительно S' . Для этого поместим в начало системы отсчета S₂ некоторое тело A₂ , движущееся вместе с ней. Тогда согласно условию задачи проекции скорости этого тела с точки зрения системы отсчета S₁ будут определяться теми же значениями, что и заданные по условию значения проекций, определяющих движение S₂ относительно S₁, т.е. v_x1 и v_y1 соответственно.

Чтобы определить скорость движения тела A₂ воспользуемся теоремой релятивистского сложения скоростей. В двумерном случае при переходе из неподвижной системы отсчета в подвижную, движущуюся со скоростью v в положительном направлении оси x неподвижной, данные выражения будут иметь вид (см. напр. [В. Паули, Теория относительности, т.1, с. 31])

где u'_x , u'_y  – проекции скорости тела в подвижной системе отсчета, а u_x , u_y  соответственно – проекции скорости в неподвижной системе отсчета.

В решаемой задаче

С учетом (3), выражения (2) примут вид

Из (4) мы видим, что A₂ движется относительно S' строго в положительном направлении оси y' . Поэтому уравнения преобразования из S'  в S₂ будут иметь вид

Теперь для нахождения окончательного решения нам осталось совместить системы уравнений (1) и (5) и учесть (4). При этом для х- проекции получим

для у-проекции получим

где v = v²_x1 + v²_y1 ;

для t–проекции получим

Таким образом, выражения (6)–(8) описывают искомые преобразования их системы отсчета S₁ в S₂ с учетом релятивистского преобразования скоростей.

2 ВАРИАНТ решения задачи

Для полноты решения задачи изменим путь перехода от S₁ к S₂, введя другую дополнительную систему отсчета S'' , которая будет двигаться в положительном направлении оси y₁ со скоростью v_y1 . В этом подходе мы сначала перейдем из S₁ в S'' , а затем, используя методику, примененную нами в 1-м варианте, перейдем из S'' в S₂ , объединив уравнения преобразования в конце решения задачи.

Сразу хотим отметить, что с точки зрения классической физики указанные два подхода к решению задачи приводят к одному решению, поскольку в классическом формализме выполняется правило параллелограмма. В релятивистском формализме это правило не выполняется, и Эйнштейн утверждал, что выполнение правила параллелограмма “основано на произвольных и неприемлемых гипотезах” [А. Эйнштейн, Принцип относительности и его следствия в современной физике, т.1, с. 151]. Что получается в случае “приемлемости” невыполнения правила параллелограмма, мы сейчас увидим.

I ЭТАП

На этом этапе нам нужно перейти из S₁ в S'' . Поскольку S'' движется в положительном направлении оси y₁ со скоростью v_y1 , искомые формулы преобразования будут иметь вид, аналогичный (5), а именно

II ЭТАП

Скорость тела A₂ относительно системы отсчета S'' будет в соответствии с (2) и подстановкой

равна

Таким образом, тело A₂ движется относительно системы отсчета S'' строго вдоль оси x'' .

С учетом (11), формулы преобразования из S'' в S₂ примут вид, подобный (1):

Для нахождения искомых уравнений преобразования из S₁ в S₂ нам осталось совместить (9) и (12) с учетом (11). При этом получим для х-проекции

Сравнивая (13) с решением для той же проекции в первом варианте (6), мы видим, что решения не совпадают. Данное решение близко к решению для у-проекции с учетом взаимной замены символов х на у и обратно. Но данное сходство неассоциативно с условиями решаемой задачи.

Для у-проекции получим

Преобразования для этой проекции также не соответствуют (7) первого решения, а похожи на решения для х-проекции – опять-таки, с заменой символов х на у и обратно. И это опять-таки некорректно с точки зрения детерминированности процессов в физике.

Наконец для t-проекции получим

Сравнивая (15) с (8), мы видим полное соответствие решения для временной компоненты.

На основе сравнения двух представленных решений мы можем сделать заключение, что преобразования в релятивистском формализме в общем случае неоднозначны. Действительно, в приведенных нами вариантах в обоих случаях мы переходили из одной и той же системы отсчета S₁ в одну и ту же систему отсчета S₂ и получили соответствие уравнений только для временной компоненты. Уравнения для х- и у-проекций принципиально отличаются друг от друга и неприводимы друг к другу, что как раз и является следствием нарушения правила параллелограмма в релятивистском формализме. Таким образом, нарушение важнейшего правила параллелограмма, на свойствах которого основаны все взаимодействия между векторами и векторными функциями в физике, приводит к нарушению однозначности операций. При этом в зависимости от пути, по которому осуществляется преобразование, в рамках релятивистского математического ядра получаются различные результаты, нарушающие детерминированность физических процессов и адекватность описания нами этих процессов. Последнее показывает, что релятивистская концепция не является замкнутой группой, поскольку не обладает в общем случае однозначностью преобразований, а нарушая детерминированность физических процессов, она не имеет права называться физической теорией.