СЕЛФ

54

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Если a является делителем B ², то условие (8) видоизменяется:

При этом предполагается, что a является некоторым квадратом целого числа. С учетом (11), выражение (7) примет вид

В выражении (13), чтобы A было целым, необходимо выполнение условия: если k четное, то и a тоже четное, и наоборот.

При

выражение (7) имеет решения для положительных входящих неизвестных:

которые принципиально отличаются от решений (10).

На приведенном исследовании мы можем наблюдать ветвление решения для простого случая x = y = z = 2, хотя общий подход сохраняется и может быть расширен на более сложные варианты уравнения (1). Несложно доказать, что, представляя C  в виде (5), мы всегда будем приходить к ветвлению решений и для более общего условия

Действительно, подстаавляя (5) в уравнение

мы прийдем к уравнению типа

(где C_n^j - биномиальный коэффициент), из которого следует, что  a должно быть делителем числа B ⁿ. При этом появляется более общее ветвление решения задачи, определяемое условием

где a₁ - целое число. В зависимости от  p будет существовать спектр различных решений задачи, определяемых решением степенного уравнения

При неравных значениях x, y, z приведенная выше методика в общем случае уже не работает и следует применять иные подходы, в зависимости от соотношений между A, B, C . Наличие же этих соотношений обусловлено самим уравнением (1), в котором как минимум одно из них находится через два остальных. Именно это потребовало введения дополнительных условий при представлении методики с равными степенями. Такие же условия требуются и в общем случае, поскольку без них не может быть выделен диапазон чисел, в котором находится решение задачи.

В частности, если A ^x является целым делителем числа B ^y, то можно представить B ^y в виде

При этом (1) примет вид

Из (22) следует, что (21) влечет за собой условие

т.е. любые пары чисел B₁ и C₁, удовлетворяющие (24), приводят к решению (1) при условии (21). Как мы можем видеть, данный подход к решению принципиально отличается от подхода при равентсве степеней. Правда, можно показать, что при определенных условиях выражение (24) является обобщением решения (15). Действительно, если в решении (15) мы выберем A и C таким образом, чтобы их можно было представить в виде

Вычитая в (26) второе равенство из первого, получим

Это сводится к (24) при k₁ = k₂ = 1, но по сравнению с (24) появляется и отличие, связанное с тем, что a в общем случае не равно 1. Исходя из этого, общее условие на основе (24) и (27) может быть записано в виде

Это условие важно для поиска общего решения тем, что из трех неизвестных (A, B, C) оно содержит только два, а третье неизвестное заменяется задаваемыми параметрами a, k₁ и k₂. Более того, в частном случае (27) мы можем произвольно задать A₁, C₁, p, q, и на основе соотношения (26) определить a и k. При этом фактически мы определим неизвестное B. Полученное решение будет удовлетворять уравнению

Если мы при этом выберем k таким образом, чтобы удовлетворялось условие

то получим более общее выражение

ограниченное условиями (30).

Проведенное исследование показывает, что единая методика решения уравнения (1) отсутствует. В зависимости от соотношений между входящими в него неизвестными будут изменяться и подходы к решению, свидетельствующие о множественном ветвлении задачи, что характерно для теории чисел. Именно это мы и намеревались показать своим исследованием.