т.1

67 - 68 - 69

Трансформация уравнения неразрывности в нелинейных моделях

67

Трансформация уравнения неразрывности в нелинейных моделях потенциальных потоков сплошных сред

С.Б. Каравашкин

Специализированная Лаборатория Фундаментальных Исследований СЕЛФ

пр. Гагарина, 38, 61140, Харьков, Украина

тел. (057) 7370624; e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

В статье доказана теорема о дивергенции вектора для деформируемых сплошных сред

Ключевые слова: математическая физика, волновая физика, векторная алгебра, механика деформируемых сплошных сред, дивергенция вектора

В работе [1], посвященной развитию основополагающих построений теории электромагнитного поля, имело место исследование поведения потока вектора в некотором фиксированном континууме поля. При этом для области динамических процессов в потоке был уточнен результат известных построений, основанных на стандартной постановке задачи о дивергенции вектора. В работе [1] этот результат был непосредственно применен к условиям и постулатам теории поля, в связи с чем в ходе построений были сделаны определенные упрощения, связанные с линейностью параметров поля. Сама же задача, поставленная в полном объеме и разрешенная с учетом нелинейности параметров сплошной среды, имеет более широкое приложение и позволяет получить ряд существенных изменений в существующих закономерностях.

  Рассмотрим некоторый потенциальный поток деформируемой сплошной среды, создаваемый источником переменной мощности, и пусть удельный поток вектора данного потенциального течения подчиняется зависимости

С целью приведения решения задачи к закону сохранения массы примем

68

где Q = dm/dt - мощность источника, Т - период полного цикла изменения производительности источника. Иными словами, при усреднении по периоду источник не изменяет величину массы материального континуума.

Кроме того, из постановки задачи вытекает, что, поскольку поток имеет потенциальный характер, то перепад мгновенной плотности потока вдоль эквипотенциальных линий отсутствует, т.е.

где

69

Прежде чем перейти к построению решения, хотелось бы отметить, что, несмотря на обилие ограничений в постановке задачи, исследуемая модель может быть реализована в разнообразных и часто используемых вариантах схем, содержащих непрерывные системы неподвижных точечных сферических или цилиндрических источников переменной производительности в бесконечном материальном пространстве с распределенными стоками на бесконечности.

Рис. 1. Общий вид силовой трубки переменного во времени потока

Для решения задачи рассмотрим некоторый связный объем сплошной среды, не содержащий источника, ограниченный сбоку поверхностью, совпадающей с силовыми линиями тока, а с торцов - поверхностями равной фазы (см. рис. 1). В отличие от работы [1], нельзя впрямую выразить длину силовых линий выделенного объема от временного смещения потока вектора (1) на границах выделенного объема из-за зависимости () . Тем не менее, условие потенциальности течения позволяет утверждать, что на любой эквипотенциальной поверхности внутри выделенного объема