wave_eq

О новом классе функций, являющихся решением волнового уравнения

С.Б. Каравашкин

Специализированная Лаборатория Фундаментальных Исследований СЕЛФ

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

В статье доказано, что решением волнового уравнения второй степени являются не только общеизвестные явные функции с запаздыванием по времени, но и неявные функции. Доказано, что данный класс неявных функций служит объемлющим решением волнового уравнения. Это существенно расширяет применение волнового уравнения на область моделирования волновых процессов в нелинейных средах

Ключевые слова: Математическая физика, волновая физика, волновое уравнение, неявные функции, моделирование нелинейных волновых процессов

Известно, что дифференциальное уравнение гиперболического типа

где c = /k - скорость распространения волны, то есть решение в виде двух явных функций от (x - ct) и (x + ct) соответственно.

Данное решение считалось до сих пор единственным и полным, что обусловлено теоремой о единственности решения дифференциального уравнения. Тем не менее, существует еще один класс функций, не учитываемый решением уравнения (2), являющийся решением дифференциального уравнения (1). Общий вид данного класса функций может быть представлен в следующей форме:

где ₁(y) и ₂(y) - некоторые дважды дифференцируемые функции.

Иными словами, приведенное решение уравнения (3) относится классу неявных функций, закономерности поведения и способы дифференцирования и интегрирования которых значительно отличаются от поведения и способов оперирования с явными функциями. Существенно, что если для явных функций создана определенная систематика дифференциальных уравнений и для определенного класса этих уравнений определены закономерности и схемы нахождения решений, то для неявных функций этих наработок нет. И вполне естественно, что соответствие выражения (3) дифференциальному уравнению (1) можно в настоящее время проверить только самым простым способом - прямой подстановкой (3) в (1).

Для этого на основании известных законов дифференцирования неявных функций найдем первые и вторые частные производные по x и t от выражения (3):

Подставляя (6) в (1), получим требуемое. Аналогично можно доказать соответствие и второй части выражения (3) уравнению (1).

Таким образом, решение (3) определяет целый класс неявных функций, удовлетворяющих линейному волновому уравнению. Причем наличие нового класса функций, являющихся решением уравнения (1), нисколько не нарушает теоремы о единственности решения дифференциальных уравнений, поскольку при определенных условиях

(3) вырождается в (2). Тем самым доказывается, что известное ранее решение является частным случаем обобщающего класса функций. Внешне может показаться, что приведенные выкладки не содержат значимой информации и что полученный класс функций (3) может быть описан выражением (2).

Но рассмотрим вопрос глубже. Найденный класс неявных функций определяет нелинейную волну, степень искажения которой зависит от вида функций ₁(y) и ₂(y). Например, при частном виде выражения (3) (см. рис. 1)

решение волнового уравнения (1) описывает прогрессивную волну, распространяющуюся вдоль оси x и наклоненную на угол . Представленные кривые поведения функции y(x)_{t = t₀} для

то есть зависимость амплитуды, пропорциональную энергии колебаний, мы получим прямой непрерывный переход от квазилинейных колебаний y 0 к нелинейным, вплоть до ударных волн. Ниже мы покажем, что полученные предпосылки не столь абстрактны.

Вторым важным фактом, относящимся к классу неявных функций, является полностью меняющееся представление о физике протекающих процессов, особенно в области между линейной и нелинейной модами процессов. Как известно, в теории непрерывных сред все процессы строго подразделяются на два класса - линейных и нелинейных процессов. “В тех случаях, когда допущение о малости искомых функций является приемлемым, в постановке задач можно произвести линеаризацию, которая сводится к следующим существенным упрощениям:

т. 1	57 - 61
О новом классе функций