wave_eq

1. Для искомых функций, принимаемых в качестве учитываемых малых первого порядка, все уравнения, дополнительные соотношения типа уравнений состояния, соотношения, выражающие начальные и граничные условия и т.п. записываются в виде линейных уравнений после пренебрежения малыми порядка выше, чем первый. … Искомые функции определяются как решения линейной системы уравнений в известной области D₀ с линейными граничными условиями на известной поверхности S₀” [2, с. 387].

Уравнение (1), к которому, в частности, сводятся и уравнения Максвелла, относится к тем же линеаризованным дифференциальным уравнениям. Но “уравнения Максвелла линейны для поля в пустоте; нелинейность возникает за счет взаимодействия электромагнитного поля со средой при учете усложненного закона Ома и усложненных законов для электрической поляризации и намагничивания” [2, с. 386].

Но нелинейные прогрессивные волны в теории сплошных сред, ведущие себя, как показано на рис. 1, исследуются на физических моделях с нелинейными параметрами. Основными из этих моделей являются:

1. Модели, учитывающие зависимость скорости звука от уплотнения S. Соответствующее этой модели дифференциальное уравнение имеет форму [3, с. 335]

где c₀^² = P₀/₀ ; S = /x - уплотнение сплошной среды; - отношение удельных теплот при постоянных давлении и объеме; - сдвиг элемента газа.

2. Модели, учитывающие усложненное соотношение между деформацией и напряженностью в твердом теле , где = a(). Дифференциальное уравнение, относящееся к этой модели, имеет форму [5, с. 7]

Кроме того, существует ряд нелинейных моделей, дающих результаты, сравнимых с рис. 1, но учитывающих нелинейность характеристик сплошной среды более полно, чем в перечисленных моделях.

Однако при всех особенностях волнового процесса общей характерной чертой всех перечисленных нелинейных моделей является ограничение области автомодельных решений сверху и снизу. Когда нарушаются условия автомодельности, волновой фронт, описываемый нелинейными моделями, имеет ограниченный срок существования, а затем затухает.

Отличием решения (3), полученного в начале статьи, является полная противоположность вышеназванных особенностей представленным нелинейным моделям. А именно,

1. Это решение удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка (1).

2. Автомодельность этого решения ограничена только сверху и только при условии однозначности решения, поскольку постоянная скорость распространения волны безотносительно к параметрам деформации.

В то же время найденное решение не может и не должно быть подставлено в нелинейные модели, поскольку оно является только промежуточным звеном между линейной и нелинейной областями поведения волнового процесса, рассмотренного выше как два крайних полюса одного и того же явления с перерывом между ними, связанным с неопределенностью вопроса, каким образом эти экстремумы стыкуются.

В заключение хотелось бы коснуться вопроса стоячих волн, описываемых выражением (7) при суперпозиции волн с равной амплитудой и фактором (y), имеющим следующий вид:

Функция (8) имеет очевидные признаки класса функций, описывающих стоячие волны. Это еще раз подтверждает правильность начальной аналогии с прогрессивной волной в сплошной среде.

Литература:

1. Корн Г.А., Корн Т.М. Математический справочник для научных работников и инженеров. Москва, Наука, 1968, 720 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1. Москва, Наука, 1973, 536 с.

3. Пейн Г. Физика колебаний и волн. Москва, Мир, 1979, 389 с.

4. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1. Москва, Наука, 1973, 584 с.

5. Локшин А.А., Сагомонян Е.А. Нелинейные волны в механике твердых тел. Изд-во Московского университета, 1989

6. Компанеец А.С. Курс теоретической физики, т. 2. Москва, Просвещение, 1975, 479 с.

1987

СЕЛФ	62 - 66
С.Б. Каравашкин