т.3 No 1

53

К вопросу об уравнении Ферма A^x + B^y = C^z

К вопросу о поиске общей методики решения уравнений типа A^x + B^y = C^z

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Украина, 61140, Харьков, проспект Гагарина, 38, кв.187

Тел.: (057) 7370624

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Данные заметки являются нашим ответом на челендж математикам со стороны авторов сайта www.sciencenews.org По самому подходу к поиску решения, который прослеживается на указанном сайте, видно, что данная задача представляется авторами скорее, как школьная головоломка, чем серьёзное исследование проблемы теории чисел. Именно поэтому мы в качестве первого шага в направлении решения задачи предложили авторам уточнить сам вопрос о возможности нахожения общего решения в связи с множественнм ветвлением задачи, характерным для теории чисел. Это мы отразили в нижеуказанных заметках. Однако, похоже, челендж значительно проще бросать, чем ответственно подходить к вопросам в математике. Во всяком случае, как мы поняли, авторы челленжда решили, что самое лучшее для них будет просто "не получать" нашего доказательства, чем терять столь дорогую им иллюзию, что если они зажмурились, то темно и всем окружающим. Поэтому мы решили поместить данные заметки в наш журнал, предполагая, что для тех немногих учёных, для которых развитие знания превыше амбиций, подсказанные нами математические подходы позволят продвинуться в вопросе поиска решения степенного уравнения типа A^x + B^y = C^z (где А, В, С и x, y, z - целые числа). В конечном счёте это продвижение в знаниях является действительной ответственностью всех, кто реально занимается наукой.

Ключевые слова: теория чисел; степенные функции; последняя теорема Ферма

На сайте Science News Online, www.sciencenews.org/sn , 15/11/97, была представлена проблема поиска общей методики решения уравнения типа

при произвольных целых A, B, C   и x, y, z. Было показано, что в некоторых частных случаях это уравнение удовлетворяется. В качестве примера было приведено уравнение типа

Для поиска методики, полезно в первую очередь доказать, что для различных чисел A, B, C и  x, y, z искомая общая методика имеет ветвления.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим простейший случай

При этом (1) примет вид

Для нахождения общего решения уравнения (4) введем дополнительное условие

где a - некоторое заданное нами целое число. Несложно увидеть, что (5) не ограничивает решения (4), поскольку a может быть взято произвольным.

С учетом (5), уравнение (4) примет вид

Поскольку B является целым числом, то из (7) следует, что здесь появляются два варианта:

1.   a является делителем B;
2. a является делителем B ² .

В первом случае B можно представить в виде

Зная значение  A по задаваемому параметру a, можно легко найти остальные числа. Решение будет иметь вид

Из (10) видно, что при a = 1и произвольном  k мы получаем спектр решений при условии (8) и обязвтельно нечетном k.