т.4 No 1

7

О градиенте потенциальной функции

Вследствие этого динамический градиент будет описываться двумя проекциями _r и , а уравнение для нахождения градиента может быть представлено в стандартном виде:

Выражение (14) мы можем преобразовать для разделения производных по соответствующим приращениям, как мы это и делали в случае неподвижного источника. При этом получим

Как видно из (15), градиент скалярного потенциала в случае движущегося источника тоже разделяется на два слагаемых, их которых первое представляет собой стандартное выражение для градиента скалярной функции по координатам, а второе слагаемое, как и в предыдущей задаче, определяет изменение потенциала во времени. Конечно, напрямую заменить второе слагаемое на векторный потенциал, как мы это сделали в случае пульсирующего источника, в общем случае сложно. Здесь нужно в каждом конкретном случае рассматривать условия моделирования, но, например, для дальней зоны это второе слагаемое значительно упрощается, поскольку можно пренебречь тангенциальной проекцией  .

Действительно, если колебания источника поля вокруг положения равновесия имеют гармонический характер, то согласно построению на рис. 4 мы имеем право записать

где - круговая частота колебаний источника.

При этом

где - длина волны излучения.

Из (18) следует, что в дальней зоне при r >>   и при ограниченности производной, выражение в правой части будет сколь угодно малым, что позволяет пренебречь им, по сравнению с радиальной компонентой в выражении (15). Фактически данная операция означает пренебрежение для дальней зоны различием расстояний от точек траектории движения источника до исследуемой точки P₀ , что и было произведено в [3] при переходе от интегрального решения уравнения Лапласа для векторного потенциала к аналитическому.

С учётом (18) мы приходим к выражению, аналогичному полученному для пульсирующего источника

которое удовлетворяет условию (12).

Для ближней зоны, где пренебрегать тангенциальной компонентой нельзя, правомерно записать зависимость между скалярным и векторным потенциалами в виде

При этом несложно убедиться, что уравнение связи (20) удовлетворяет условию (12).