т.5 No 1

65

Задача трех тел в теории удара

Исходя из вышеописанного, для реализации плана решения задач многих тел в теории удара, нам достаточно получить решения для случая взаимодействия некоторой массы с локальным центром масс остальных тел системы.

Для простоты предположим, что первое тело в системе трех тел взаимодействует с локальным центром масс, описываемым системой (49). При этом, как следует из постановки задачи, представленной на построении рис. 8, взаимодействие указанного тела с локальным центром масс осуществляется в плоскости, проходящей через точки начального положения тела и центра масс и точку взаимодействия А. В связи с этим мы можем сразу записать решение, основываясь на общем решении (36) задачи двух тел:

где m_m1 = m₂ + m₃ . При этом решение, описывающее параметры движения локального центра масс, нас не интересует, поскольку для каждого из тел, входящего в консервативную систему, будет выполняться равенство (53), которое будет полностью определять параметры движения тела после взаимодействия. Аналогично, для системы n тел решение задачи для i-го тела (i = 1, 2, ..., n) будет иметь вид

где согласно (49)

Представленные решения, как и в случае задачи двух тел, должны объединяться с условиями доопределения начальных параметров тел, входящих в систему. Это несложно сделать, если учесть, что условия (37)- (38) и (41) получены на основе дополнительного задания положения центра взаимодействия тел и интервала времени между начальным положением тел и моментом взаимодействия. Поэтому указанные дополнительные условия могут определяться по любым парам тел, входящих в систему при условии, что параметры каждого из тел будут входить как минимум в одно из условий. При этом из шести параметров, необходимых для полного определения начального положения и скорости каждого тела, могут быть доопределены три, - для n тел соответственно 3n.

Рис. 9. Динамическая диаграмма рассеяния пяти точечных масс. Параметры диаграммы:

m₁ = 3 кг, m₂ = 1 кг, m₃ = 5 кг, m₄ = 0,3 кг, m₅ = 2 кг,

₁ = 200^o , ₂ = 160^o , ₃ = - 25^o , ₄ = 130^o , ₁ = 230^o ,

 ₁ = 35^o , ₂ = 60^o , ₃ = 40^o , ₄ = 115^o , ₅ = 140^o ,

v₁ = 4 м/c , v₂ = 2 м/c , v₃ = 3 м/c , v₄ = 6 м/c , v₅ = 1 м/c ,

x_A = 10 м,  y_A = 19 м , z_A = 5 м ,  t_A = 10 сек  

Для наглядности полученных решений на рис. 9 представлена траектория рассеяния пяти тел с произвольно выбранными массами и произвольно выбранными параметрами с учетом условий доопределения.

Выводы

В результате последовательного исследования задачи двух тел и трех тел с увеличением числа взаимодействующих тел до произвольного количества, было установлено, что общая форма решения задачи центрального взаимодействия двух тел (одномерный случай) в векторном виде полностью сохраняется при переходе к двумерному случаю, а задача трех и более тел разбивается на комплекс задач двух тел, описывающих взаимодействие каждого из тел материальной системы с локальным центром масс остальной части системы тел. При этом снимается вырождение базовой моделирующей системы уравнений, сформированной на основе закона сохранения энергии и импульса системы, и задача получает точное аналитическое решение.

13 - 18 мая 2005

Литература:

1. Физический энциклопедический словарь, т. 4. Москва, Советская энциклопедия, 1965

2. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. Москва, Наука, 1970, 447 с.

3. Restricted Three-Body Problem

http://scienceworld.wolfram.com/physics/Three-BodyProblem.html

4. James P. Sethna The Restricted Three Body Problem

www.physics.cornell.edu/sethna/teaching/sss/jupiter/Web/Rest3Bdy.htm

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Москва, Наука, 1970, 478 с.

6. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б., Сергеев Г.П. Курс физики, т. 1. Москва, Высшая школа, 1963, 402 с.