т.5 No 2

1

Дополнение 2. Ответы на вопросы Сергея Хартикова

Дополнение 2. Ответы на вопросы Сергея Хартикова

После выхода основной статьи и параллельно с Дополнением 1, нами велась дискуссия с г-ном Хартиковым, на часть вопросов которого мы ответили в первом дополнении. Но у него остались ещё вопросы, хотя, как будет видно из изложения, они существенно трансформировались. Поскольку так или иначе эти вопросы касаются принципиальных аспектов нашей статьи и узловых моментов понимания ошибочности концепции ЧД, мы решили оформить вопросы г-на Хартикова вместе с нашими ответами в Дополнение 2.

Для облегчения восприятия, наши предыдущие ответы Хартикову в дискуссии, на которые он опирается, мы обозначим коричнево-зелёным цветом, а вопросы Хартикова сине-зелёным цветом. Цитирование литературы в ответе будет осуществляться стандартным для нашего журнала зелёным цветом. Нумерация вопросов выделена красным.

1. Цитата: “По поводу записи преобразования метрики. Здесь Вы многократно не правы”

Сергей, формула (18) Вашей работы - это вычисление якобиана преобразования координат в плоском евклидовом пространстве. В задаче Шварцшильда пространство изначально риманово, поэтому Ваша формула (18) заведомо никогда не совпадет с якобианом из работы Шварцшильда. Формулу (18) Вы вычисляли для уравнения (16). Посчитайте то же самое для исходного уравнения (14). И Вы увидите, что результаты будут отличаться ровно на множитель r² sin - это и есть якобиан, вычисленный Шварцшильдом - то есть все в соответствии с преобразованием координат в римановом пространстве. Хотя Шварцшильд получил якобиан непосредственным подсчетом, я не поленился посчитать его Вашим способом - все совпадает с результатом Шварцшильда.

Еще раз повторю результат, чтобы не было неясностей: корень из определителя для метрики (14), умноженный на якобиан r² sin , совпадает с корнем из определителя для метрики (16) (используйте хоть трехмерный, хоть четырехмерный вариант - получится одинаково. Я уже тремя способами посчитал - и Вашим, и непосредственным подсчетом, и методом Шварцшильда - получаются одинаковые ответы. Это означает, что ошибки у Шварцшильда нет.

Мы начнём наш ответ с опровержения Вашего утверждения, что мы якобы определяли якобиан в плоском евклидовом пространстве, а Шварцшильд в римановом.

При переходе от метрики в прямоугольных координатах (выражение (14) нашей статьи)

к метрике в сферических координатах (выражение (16) нашей статьи)

Шварцшильд воспользовался стандартными формулами преобразования именно для плоского евклидового пространства (выражение (15) нашей статьи)

которое Вы безусловно не могли не заметить, акцентируя своё внимание на предыдущей и последующей формулах. В римановом пространстве преобразование (3) в общем случае не справедливо. В предшествующем ответе, кроме указанной Вами цитаты, мы ещё очень и очень много написали, и в частности по данному конкретному поводу: “Правильно в Вашем понимании будет записывать

разделяя метрический тензор и коэффициент F_ik , хотя и в этом случае оказывается тоже необходимо учитывать G и H. :-)” После этого мы обосновали необходимость учёта при преобразованиях указанных коэффициентов. В свете этого интересно напомнить претензию, которую мы выдвигали к преобразованию (1) в (2) в нашей статье. “Согласно существующему математическому формализму тензорного анализа, в данном случае ортогональной метрики

[1, с. 6]. Как мы видим, в выражении (5) стоит якобиан в самом общем виде, который и используется при преобразованиях в криволинейных координатах. И именно на основании выражения (5) мы сделали заключение о неправильности мнения Шварцшильда, которое заключалось в следующем: “При этом элемент объема в сферических координатах равен

так что якобиан преобразования от старых координат к новым, равный r² sin , отличен от единицы" [2, с. 201]. Также мы в статье указали, что “последующим своим шагом, вводя преобразование

Шварцшильд уже не мог удовлетворить равенству

поскольку он должен был удовлетворить иному равенству

[1, с. 6]. Так что Ваши претензии к тексту нашей статьи в данном случае полностью необоснованны. Как раз не мы, а Шварцшильд преобразовывал в метрике евклидового пространства.

Аналогично, описание проделанных Вами расчётов, о которых Вы пишете, не отвечает математическим операциям, которые должны в реальности выполняться при переходе от (1) к (2) с последующим переходом (9). Вопрос ведь не в том, что “корень из определителя для метрики (1), умноженный на якобиан r² sin , совпадает с корнем из определителя для метрики (2) (используйте хоть трехмерный, хоть четырехмерный вариант - получится одинаково)”. Вопрос в том, чему равен сам якобиан, а он должен определяться именно выражением (5), которое представили мы в статье, а не тем, которое представлял Шварцшильд и отстаиваете Вы. Заметьте, Вы почему-то умножали корень из определителя метрики на “якобиан” в Вашем понимании. Но ведь в предыдущем ответе мы Вам показали, что в этом случае согласно основам аналитической геометрии “метрика Шварцшильда будет уже не метрикой, а некоторой кривой, поверхностью или объёмом в трехмерном прямоугольном или сферическом пространстве”. При этом инвариант данной поверхности, который искал Шварцшильд, будет иметь вид

В этот инвариант должны войти как раз те коэффициенты H и G, наличие которых в наших выкладках Вы посчитали неправомерным. А то, что “результаты будут отличаться ровно на множитель r² sin ” - никто не спорит и не спорил. Но если говорить о переходе между системами координат, то нужно говорить о переходе между системами координат. Вопрос, повторяем, стоял и стоит о том, что вместе с множителем r² sin   должны учитываться в общем случае и коэффициенты самой метрики. Самое интересное, что Вы это и делали в своих расчётах, а с нашей подачи не понимаете и тем более считаете ошибочным.