СЕЛФ

36

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

6. Об инвариантности четырёхмерного интервала Минковского

Рассматривая в предыдущих разделах данного исследования базовые аспекты специальной теории относительности, мы прямо или косвенно сталкивались с понятием инварианта, с которым в релятивистской концепции ассоциируется четырёхмерный интервал Минковского.

Думаем, читателям будет интересно узнать, что сам по себе четырёхмерный интервал появился в СТО далеко не с самого начала. Начиная с первой работы Эйнштейна “К электродинамике движущихся тел” [18] и вплоть до работы 1907 года “О принципе относительности и её следствиях” [19], все исследования Эйнштейна базировались на вариациях преобразований Лоренца и их следствиях. Только в указанной работе 1907 года он записывает: “Поскольку скорость распространения света в пустоте относительно обеих систем координат равна c , уравнения

и

должны быть эквивалентными” [19, с. 71- 72]. Но (82) и (83) ещё не означают сами по себе введение четырёхмерного интервала, они только устанавливают эквивалентность уравнения (82) и (83) относительно инерциальных систем отсчёта и только для случая распространения света в пустом пространстве. Понятие инвариантности появляется в работах Эйнштейна начиная с 1911 года (т.е. через пять лет после того, как А. Пуанкаре сформулировал условия инвариантности четырехмерного интервала в своей знаменитой работе “О динамике электрона”), когда он формулирует, ссылаясь на Минковского, определение инвариантности: “Уравнения преобразований в теории относительности таковы, что они обладают следующим инвариантом:

Если вместо времени t   ввести в качестве временной координаты мнимую переменную

то этот инвариант принимает вид

При этом пространственные и временная координаты играют равноправную роль. Дальнейшее применение этого формального равноправия пространственных и временной координат привело к чрезвычайно ясному изложению теории относительности, существенно облегчающему её приложения. Физические события изображаются в четырёхмерном мире и пространственно-временные соотношения между ними представляются в этом четырёхмерном мире геометрическими теоремами” [9, с. 186].

Наконец, в “Проекте обобщённой теории относительности и теории тяготения” [20] Эйнштейн, также ссылаясь, но теперь на М. Планка, записывает принцип наименьшего действия для СТО на основе четырёхмерного интервала: “Согласно обычной теории относительности, свободная точка движется в соответствии с соотношением

[20, с. 228]. Результатом этого стало объединение понятий инварианта и четырёхмерного комплексного интервала: “Если стать на формальную точку зрения…, то можно говорить о четырёхмерном пространстве с координатами xⁱ (i = 1, ..., 4) , геометрия которого должна отвечать группе преобразований (53); отметим, что форма (54) инвариантна относительно этих преобразований” [14, с. 93].

Вместе с тем, понятие инварианта и понятие четырёхмерного интервала принципиально различны. “Четырёхмерный интервал - величина, характеризующая связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими два события” [21, с. 187].

В свою очередь, “метрическим инвариантом называется такая рациональная функция I от коэффициентов уравнения

и от компонент g_ik  метрического тензора данной общей декартовой системы координат, которая имеет одно и то же значение в двух любых таких системах:

[22, с. 649]. Или в более общей форме по Клейну: “Числовые характеристики и свойства фигур, не изменяющиеся при некотором преобразовании f пространства M , называются инвариантами преобразования f ” [23, с. 44].

Объединение же понятий инварианта и интервала приводит только к парадоксам, когда, например, интервал обращается в ноль при движении тела с максимально возможной для релятивистской концепции скоростью c. При этом отговорки типа “Если к тому же точка движется со скоростью света c, то форма (54) будет тождественно обращаться в нуль и, следовательно, четырёхмерной траекторией такой точки будет изотропная прямая” [14, с. 94- 95] – ни в коей мере не способны снять возникающий парадокс. Ведь и при инерциальном движении тела в инерциальной системе отсчёта со скоростью, меньшей скорости света, траекторией также будет изотропная прямая. Наоборот, у точки по аксиомам геометрии не может быть протяжённости, а значит, не может существовать никакой изотропной прямой - или (54) не определяет траекторию тела, а только является инвариантом релятивистской концепции. Но тогда релятивисты не имеют права записывать принцип наименьшего действия в форме (87) со всеми вытекающими последствиями как для специальной, так и для общей теории относительности. И данный принципиальный вопрос требует специального рассмотрения.