СЕЛФ

16

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Украина, 61140, Харьков, проспект Гагарина, 38, кв.187

Тел.: (057) 7370624

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Приведена методика поиска решения нелинейных волновых уравнений типа u’’ + g(t)u = 0 и u’’ + g(u)u = 0, а также рассмотрена перспектива расширения области применения методики на другие типы нелинейных волновых уравнений.

Ключевые слова: волновая физика, математическая физика, нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка, волновое уравнение

1. Введение

Как известно, волновое уравнение играет важную роль в моделировании физических процессов во многих задачах термодинамики, механики, теории поля и т.д. Причём во многих случаях мы при моделировании сталкиваемся с нелинейными типами волнового уравнения и при отсутствии подходов к их решению вынуждены или неоправданно линеаризовать задачу, или ограничиваться численными методами решения, что существенно ограничивает возможности дальнейшего развития решений в приложениях и делает невозможным полный анализ модели. В данной работе мы представим методику решения нелинейных уравнений двух типов, важных для задач моделирования, и покажем некоторые перспективы расширения её применения на другие типы нелинейного волнового уравнения.

2. Методика нахождения решения волнового уравнения типа u’’ + g(t)u = 0

Как уже определено в названии данного раздела, рассмотрим волновое уравнение типа

Чтобы определиться с направлением поиска, сначала проведем некоторые преобразования в левой части. Для этого умножим второе слагаемое на - i², прибавим и вычтем выражение if (t) du/dt , где f (t) - некоторая вспомогательная, дифференцируемая на интервале функция времени, а также разобьем функцию g (t)  на два аддитивных слагаемых

где k (t) некоторая вспомогательная, дифференцируемая на интервале функция времени.

После группировки получим

Для нахождения решения уравнения (3) необходимо, чтобы выражения в фигурных скобках были идентичными. Чтобы добиться этого, мы можем воспользоваться известным выражением, вытекающим из законов дифференцирования

Сравнивая (4) с первой фигурной скобкой в (3), получим

откуда следует

На основании (4)- (6) мы можем сделать вывод, что выражения в фигурных скобках в (3) будут тождественно равны в случае, если

Из (7) с учетом (6) следует

или

Полученное нами выражение (9) определяет неизвестную нам функцию f (t) , найдя которую, мы получим решение общего уравнения (1).

Решение дифференциального уравнения (9) удобно искать в виде гармонического ряда по аналогии с методикой, изложенной в нашей работе [1]. Для этого необходимо представить функцию g (t) также в виде гармонического ряда

где g_m  являются некоторыми постоянными Фурье-разложения. Причем в общем случае они могут быть и комплексными величинами.

С учетом (10) мы будем искать решение уравнения (9) также в виде гармонического ряда

Производя дифференцирование (11) по времени и подставляя результат в (9) совместно с (10) и (11), получим

Из выражения (12) мы видим, что комплексная единица может быть сокращена в правой и левой частях и при действительных коэффициентах g_m  уравнение становится тоже действительным.

Идя далее, мы можем представить (12) в виде системы алгебраических уравнений, приравнивая коэффициенты при соответствующих экспонентах правой и левой части. Запишем первые из этих уравнений.

m = 0

откуда

m = 1

откуда

m = 2

откуда

m = 3

откуда

Как следует из анализа первых четырех членов, система является рекуррентной и мы можем последовательно определять все коэффициенты разложения через предыдущие. Кроме того, из полученных решений видно, что полученный ряд быстро убывающий, пропорционально 1/.

Определив вид функции f (t) и тем самым выяснив, что определяющее выражение (9) имеет решение, мы можем вернуться к выражению (3) и записать его в виде

где

Из (21), (22) мы видим, что принимая

мы тем самым обращаем в ноль и уравнение (21). Следовательно, условие (23) является уравнением, определяющим одно из частных решений уравнения (21), а значит, и исходного уравнения (1). Решение же для (23) очевидно:

где C₁ - некоторая постоянная, определяемая условиями задачи.

Учитывая в дополнение к этому определённые нами коэффициенты ряда (11), мы можем проинтегрировать f (t) по времени и подставить в правую часть (24). При этом получим

Чтобы определить второе частное решение исходного волнового уравнения (1), достаточно несколько иначе перегруппировать члены в выражении (3), записав это выражение в виде

Проходя далее весь вышеописанный путь, получим

где C₂ также является постоянной, определяемой условиями задачи.

Объединяя (25) и (27), получим окончательно

Это и есть искомое нами решение волнового уравнения (1). В частном случае

все коэффициенты разложения (10), кроме нулевого, обращаются в ноль и решение (28) принимает стандартный вид

что подтверждает правильность сделанных нами преобразований.