СЕЛФ

Взаимоотношение углов в релятивистской концепции

Взаимоотношение углов во взаимно движущихся системах отсчета с точки зрения релятивистской концепции

При представлении решения задачи о преобразованиях координат путем введения промежуточных систем отсчета мы могли убедиться, что различные пути приводят к различным решениям, что не характерно для евклидовых пространств. В качестве одной из предполагаемых причин подобного несоответствия релятивисты обычно приводят искажение углов при преобразованиях или поворотах осей на мнимый угол.

Вместе с тем, как известно, одним из условий постановки Эйнштейном задачи нахождения преобразований Лоренца является именно параллельность координат: “Пусть теперь началу координат одной из этих систем (k) сообщается (постоянная) скорость v в направлении возрастающих значений x другой, покоящейся системы (K); эта скорость передается также координатным осям, а также соответствующим масштабам и часам. Тогда каждому моменту времени t покоящейся системы (K) соответствует определенное положение осей движущейся системы, и мы из соображений симметрии вправе допустить, что движение системы k может быть таким, что оси движущейся системы в момент t  (через t всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны осям покоящейся системы” [А. Эйнштейн, К электродинамике движущихся тел, т.1, с. 13].

На данной обусловленности взаимной параллельности осей Эйнштейн основывает исходные уравнения преобразований в общем виде, которые в ходе его вывода приобретают форму преобразований Лоренца: “Можно выбрать обе системы координат так, чтобы ось x системы S  и ось x' системы S' совпадали и чтобы отнесенная к S ось y'   системы S' была параллельна оси y системы S … Из известного теперь положения координатных плоскостей системы S' относительно S  непосредственно вытекает, что каждые из последующих уравнений попарно эквивалентны:

[А. Эйнштейн, О принципе относительности и его следствиях, т. 1, с. 71].

Как мы можем видеть из цитаты, система уравнений (1) записана именно для параллельности осей взаимно движущихся систем отсчета и никаких поворотов не предполагает, как не учитывает и не предполагает преобразований в криволинейных пространствах.

Также неосновательны ссылки релятивистов на повороты при преобразованиях. Подобные повороты в линейных пространствах задаются принципиально отличными от (1) выражениями, а пространство СТО по условию, введенному Эйнштейном, строго линейно: “Можно сразу сказать, что эти уравнения должны быть линейными по отношению к указанным переменным, поскольку этого требуют свойства однородности пространства и времени” [А. Эйнштейн, О принципе относительности и его следствиях, т. 1, с. 71]. Из этой же линейности следует и то, что трехмерное пространство СТО (пространственные оси) является евклидовым: “Равенство нулю тензора кривизны в евклидовом пространстве очевидно. Однако уже Риман в своей диссертации указал, что верна и обратная теорема: если тензор кривизны равен нулю, то пространство – евклидово, т.е. тогда можно найти такую систему координат, в которой g_ik постоянны. Впервые обстоятельное доказательство этого утверждения дал Липшиц. Очень изящное и наглядное рассуждение было проведено Вейлем” [В. Паули, Теория относительности, с. 78].

Таким образом ни о нелинейности пространства, ни о преднамеренных поворотах осей в теореме Эйнштейна говорить не приходится, а значит, в обоих вариантах, представленных в тексте решения задачи, все оси основных и вспомогательных систем отсчета сохраняют свою взаимную параллельность и в обоих случаях преобразование происходит из одной и той же системы отсчета S₁   в ту же самую систему отсчета S₂ .

Тем не менее, чтобы снять излишние возражения релятивистов, рассмотрим закономерность преобразования углов во взаимно движущихся системах отсчета. При этом сразу обратим внимание на тот факт, что мы в данном случае не можем воспользоваться стандартной релятивистской формулой трансформации углов [В. Паули, Теория относительности, с. 32]:

Данное выражение записано для преобразования угла наклона скорости при переходе из неподвижной (нештрихованной) системы отсчета в подвижную (штрихованную). Именно в связи с этим в правой части (2) фигурирует не только взаимная скорость систем отсчета v , но и скорость тела u'  относительно подвижной системы отсчета. А это в релятивистском формализме означает, что для неподвижных относительно подвижной системы отсчета тел формула (2) теряет смысл и для преобразования пространственных углов нужно использовать иную зависимость, выведенную именно для преобразования углов вектора, неподвижного относительно подвижной системы отсчета. Отметим здесь, что в классической физике данное различие абсурдно, но в рамках ее формализма не происходит и трансформации пространства-времени, как и сохраняется соответствие между углами наклона векторов во всех инерциальных системах отсчета. В релятивизме это условие преднамеренно нарушено, поэтому и закономерности трансформации углов необходимо искать для векторов скорости отдельно и для пространственных векторов отдельно, и как мы увидим дальше, данные зависимости принципиально различны.

Чтобы найти закономерность трансформации пространственных углов при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую в рамках релятивистской концепции, рассмотрим две инерциальные системы отсчета K   и K' , из которых последняя движется в направлении положительных значений оси x системы отсчета K  с сохранением полного совпадения осей x и x' . Пусть также в системе отсчета K'  находится пространственный вектор ' , угол наклона которого к оси x'  равен ',  длина N', а начало которого совпадает с началом системы координат K' , как показано на рис. 1. Определим угол наклона этого вектора в неподвижной системе отсчета K .

Рис. 1. Схема движения пространственного вектора ' относительно неподвижной системы отсчета K

Чтобы корректно произвести расчет искомой зависимости углов, мы должны, в отличие от классического формализма, учитывать не только пространственные, но и временные характеристики, поскольку, как показано нами в работах , преобразования Лоренца наклоняют плоскость событий, вследствие чего появляется мнимая неодновременность. И если мы предполагаем, что угол наклона пространственного вектора производится в физическом времени каждой системы отсчета (что соответствует условию вывода Эйнштейном преобразований Лоренца), то мы должны производить дополнительные преобразования, чтобы согласовать результаты преобразований с физическим временем в каждой системе отсчета.

С учетом вышеописанного, чтобы преобразовать вектор ', нам необходимо преобразовать положение начала и конца этого вектора. В соответствии с условием задачи и на основе стандартных преобразований Лоренца

для начала вектора x'₁ = 0 ,  y'₁= 0 ,  t' = t'₀ и

для конца вектора x'₂ = N' cos ' ,   y'₂ = N' sin ' , t' = t'₀   и

Из (3) и (4) мы видим, что значение начала и конца вектора в неподвижной системе отсчета, как и ожидалось, отображаются в различные моменты времени. Чтобы ввести в соответствие полученные значения с физическим временем в неподвижной системе отсчета, достаточно учесть, что все точки, соответствующие этому пространственному вектору, равномерно смещаются во времени вдоль оси x системы отсчета K . Поэтому если положение начала вектора (x₁, y₁) соответствует времени t₁ , то в этот момент времени конец вектора находился в точке с x-проекцией

y-проекция конца вектора при этом соответствует (4), поскольку смещение происходит вдоль оси x .

С учетом (5) и (3), разность x-проекций в неподвижной системе отсчета равна

Из (3) и (4) имеем для y-проекций

Следовательно,

Полученное выражение (8) описывает искомую нами зависимость, связывающую углы наклона пространственного вектора во взаимно движущихся инерциальных системах отсчета в релятивистской концепции. Сравнивая это выражение с законом трансформации векторов скорости (2), мы видим принципиальное отличие в самом характере зависимости. Это свидетельствует о том, что вектора различной природы в релятивистской концепции преобразуются различным образом. В связи с этим релятивисты не имеют права отождествлять законы преобразования векторов различной природы: "В общем случае четырехмерным вектором или, кратко, 4-вектором мы назовем вектор а_а , имеющий проекции на оси координат а_x , а_y , а_z и а_t , которые при преобразованиях Лоренца - повороте осей в четырехмерном пространстве - преобразуются по одному и тому же закону. Именно компоненты любого вектора а_а должны изменяться так же, как компоненты радиуса-вектора r_а" [В.Г. Левич, Курс теоретической физики, т. 1, с. 217].

Далее, из (8) мы видим, что углы наклона пространственных векторов, направленных вдоль осей подвижной системы отсчета, не трансформируются, т.е. при ' = 0 имеем = 0, а при ' = /2  получаем, что и = /2 . Таким образом мы строго математически доказали, что никакого поворота пространственных осей, о котором говорят релятивисты, при движении системы отсчета K' не происходит. Но углы, отличные по величине от указанных, трансформируются в соответствии с релятивистским множителем. И это важный вывод, показывающий, что причина различия, возникшего между первым и вторым вариантом в представленной задаче о преобразовании систем отсчета, не обусловлена тем, что идя различными путями, мы якобы приходим к различным системам отсчета S₂ . Выкладки показывают, что если мы при произвольном числе промежуточных систем отсчета будем переходить от одной системы отсчета к другой, используя движение последующих промежуточных систем отсчета вдоль осей предыдущих систем отсчета, то независимо от количества этих промежуточных систем, параллельность осей всех систем отсчета будет сохраняться. А следовательно, идя различными путями от исходной системы отсчета S₁   к конечной системе отсчета S₂   через посредство промежуточных систем, двигающихся в направлении осей исходной системы S₁   мы будем всегда получать систему отсчета S₂ той же ориентации, но различной степени продольной трансформации длин по осям, свидетельствующего исключительно о неоднозначности перехода, осуществляемого преобразованиями Лоренца при произвольном инерциальном движении систем отсчета.