СЕЛФ

О движении наклонного стержня

О сложном равномерном движении наклонного стержня с точки зрения теории относительности Эйнштейна

В предыдущей задаче мы рассмотрели закономерности трансформации наклонного пространственного вектора, движущегося с началом подвижной системы отсчета и показали, что при горизонтальном и вертикальном положении этого вектора трансформация угла наклона отсутствует. В данной задаче мы усложним движение этого пространственного вектора, заставим его смещаться еще и в поперечном направлении.

Пусть имеются неподвижная инерциальная система отсчета S₁   и подвижная система отсчета S' , движущаяся по оси x₁ неподвижной системы отсчета со скоростью v_x1  в направлении положительных значений x₁, сохраняя параллельность осей. И пусть имеется некоторый отрезок AB , движущийся вместе с системой отсчета S'  и одновременно с этим в направлении оси y' . При этом движение осуществляется таким образом, что точка A отрезка движется строго по оси y' , как показано на рис. 1.

Рис. 1. Схема движения отрезка AB относительно систем отсчета S₁   и S'

Положим, что длина отрезка равна l , продольная скорость отрезка как целого с точки зрения неподвижной системы отсчета равна v_x1 , поперечная скорость, опять-таки, с точки зрения неподвижной системы отсчета равна v_y1 , а угол наклона отрезка к оси x₁ равен ₁ . Определим угол наклона отрезка в подвижной системе отсчета S' . Также для упрощения выкладок положим, что в начальный момент времени t₀ = 0 начала обеих систем отсчета и точки A   совпадают.

Для решения поставленной задачи прежде всего запишем уравнения движения исследуемого отрезка в неподвижной системе отсчета S₁ . Для этого нам достаточно записать уравнения движения его начала и конца. С учетом начальных условий, данные уравнения будут иметь вид:

Следующим шагом определим законы движения концов стержня в подвижной системе отсчета. Для этого, как и в предыдущих задачах, нам необходимо доопределить задачу и учесть фактор физического времени. Чтобы сделать это корректно, вспомним, в связи с чем появилась задача о стержне при рассмотрении основной задачи о переходе из системы отсчета S₁  в систему отсчета S₂ , движущейся плоскопараллельно относительно S₁   под углом к ней. Эта задача возникла в связи с претензиями сторонников релятивистской концепции, что при использовании промежуточных систем отсчета S'  и S'' , движущихся в направлениях проекций скорости движения системы отсчета S₂ , оси S₂   якобы поворачиваются относительно S₁ . При этом, поскольку в основной задаче рассматривается переход между S₁   и S₂ , то ориентация осей S₂   в физическом времени S'  не играет никакой роли. Важен вопрос, поворачивается ли S₂   по отношению к S₁  при переходе через S'   и S'' , в чем и состояла основа претензий релятивистов. Исходя из этого, а также учитывая, что в преобразованиях Лоренца закладывается, как правило, физическое время той системы отсчета, из которой мы осуществляем преобразования, т.е. в данном случае S₁ , нас интересует сохранение параллельности осей S₂  именно по отношению к S₁ , в физическом времени исходной системы отсчета S₁ . Стержень же мы можем рассматривать как некоторую обобщенную модель осей системы отсчета S₂ .

Определившись в данном вопросе, мы можем продолжить исследование. Исходя из дополнительного условия, а также учитывая, что подвижная система отсчета движется в направлении оси x₁ , будучи параллельной ей, мы можем записать уравнения движения концов стержня в подвижной системе отсчета в виде

Из полученных выражений мы видим, что конец A стержня в подвижной системе отсчета движется строго вертикально. Преобразование для времени мы не производим, поскольку нас интересует трансформация угла наклона стержня в физическом времени системы отсчета S₁ .

Для конца B имеем

Из (S3.5) мы видим, что второй конец стержня также движется строго вертикально, поскольку x' не зависит от времени. Вместе с тем в системе отсчета S'  и время входит только в y'-проекции. Но и оно сокращается вследствие того, что для определения угла наклона стержня в подвижной системе отсчета нас интересуют не абсолютные значения проекций, а разности значений между положением концов стержня в каждый момент времени. Поэтому

и

С учетом (S3.6), (S3.7) у нас отпадает необходимость вычисления преобразования времени. Одновременность же с точки зрения системы S₁  мы фактически учли в ходе подстановки (S3.3) и (S3.5) в (S3.7).

Используя (S3.6), (S3.7), мы можем определить угол наклона стержня относительно подвижной системы отсчета S'  в физическом времени системы S₁ . И этот наклон стержня, как уже было сказано, при определенной ориентации будет моделировать положение осей S₂   по отношению к S₁ :

Из (S3.8) следует, что положение направленного отрезка AB , имитирующего оси системы отсчета S₂  при ориентации, кратной k/2 , k = 0, 1, 2, 3 , сохраняет свое значение; тем самым сохраняется и параллельность осей системы отсчета S₂   по отношению к осям S₁ . Аналогично можно доказать и для перехода из S₁   в S₂ , с использованием промежуточной системы отсчета S'' , движущейся в направлении v_y1  по отношению к S₁ .

Также из проведенного исследования следует, что неоднозначность, возникающая при различных переходах из S₁   в S₂ , не связана с тем, что в зависимости от пути мы приходим в различные системы отсчета. Мы видели, что идя через промежуточные системы S'  или S'' , движущиеся в направлении проекций скорости, мы не изменяем наклон системы отсчета S₂   по отношению к S₁, а используя в обоих случаях одну и ту же физическую точку A₂ для построения S₂ , мы в обоих случаях приходим к системе отсчета, в начале которой расположена одна и та же физическая точка A₂ , а оси в обоих случаях сохраняют параллельность системе отсчета S₁ . Неоднозначность полностью обусловлена неоднозначностью результата, который получается при использовании преобразований Лоренца.