т.5 No 1

17

О продольном возмущении упругой среды с подвижной границей

Задачи о продольном возмущении упругой среды с подвижной границей

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Украина, 61140, Харьков, проспект Гагарина, 38, кв.187

Тел.: (057) 7370624

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

В заметках исследуются две наиболее характерные модели обширного класса задач по распространению продольных возмущений в идеальной упругой среде с подвижной идеально отражающей границей. Исследование было проведено в связи с тем, что данные задачи имеют самый широкий ареал приложений, от непосредственно механики до основ теории относительности и электромагнетизма. Нами показано, что в обеих моделях картины колебательного процесса описываются прогрессивными волнами с модуляцией по амплитуде. При этом в случае неподвижного источника и подвижной границы скорость распространения волн пропорциональна скорости движения самой границы, а в случае синхронного смещения источника и границы условия модуляции существенно зависят от скорости смещения. Кроме того, представлена важная для приложений методика передачи неискаженных мер пространства и времени между взаимно движущимися системами отсчета.

Ключевые слова: волновая физика, динамика упругих систем, колебания в упругих средах с подвижной границей, методы передачи пространственной и временной мер между взаимно движущимися системами отсчета

1. Введение

Рассматриваемые в данной заметке задачи возникли в связи с исследованиями ряда коллег по распространению волн в упругой среде с подвижной границей. Основываясь на разработанной нами методике нахождения точных аналитических решений для моделей упругих систем, мы проанализировали две наиболее принципиальные задачи из указанного класса, чтобы уточнить картины колебательных процессов в системах с подвижной границей. Конечно, проведенный анализ короток и не затрагивает многих аспектов, связанных с неидеальностью границы, с сопротивлением линии, с наличием рассеяния возмущения, характерного для пространственных моделей. Методика позволяет нам углубиться в указанные аспекты вопроса, но на данном этапе мы считаем, что представленного уровня достаточно для понимания принципиальных аспектов. Надеемся, что представленные результаты уточнят позицию коллег в их исследованиях и помогут им скорректировать свои точки зрения на феноменологию явлений, протекающих в упругих системах с подвижной границей.

2. Исследование модели с неподвижным источником и подвижной границей

Для уточнения данного вопроса рассмотрим распространение продольных волн сжатия вдоль одномерной упругой линии с плотностью   и натяжением T_f , схема которой представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема бесконечной упругой линии с распределёнными параметрами, вдоль которой со скоростью v движется граница в направлении положительных значений x

На представленном построении точка возмущения линии внешней силой совмещена с началом координат, а абсолютно жёсткая граница движется вдоль оси x от некоторой начальной точки x₀ 0 со скоростью v. Нас будет интересовать область упругой линии, расположенная между точкой возмущения и подвижной границей, т.е.

Для упрощения исследования без ограничения общности предположим, что амплитуда внешней силы изменяется по гармоническому закону, т.е.

где F₀ , - амплитуда и частота изменения внешней силы, j - комплексная единица.

В соответствии с [1, с. 28], уравнение для мгновенного смещения x элементов упругой линии в произвольно выбранной точке исследуемого интервала будет равно

Уравнение волны, отражённой от границы, с учётом подвижности этой границы, инверсии волны на границе и абсолютной жёсткости границы, будет иметь вид