т.6 No 1

17

Методика поиска решения некоторых типов нелинейного волнового уравнения

3. Методика нахождения решения волнового уравнения типа u’’ + g(u)u = 0

Теперь пользуясь методикой, отработанной на первой задаче, найдем решение дифференциального волнового уравнения для случая, когда коэффициент g зависит от u, т.е.

При этом в данном выражении мы намеренно не представляли второе слагаемое левой части в виде g₁(u)u , поскольку, вводя

мы тем самым приходим к общей форме (31).

Для нахождения решения уравнения (32) нет необходимости разбивать g (u) на два аддитивных члена, поскольку данная функция не зависит впрямую от временного параметра. Достаточно по аналогии с предыдущей задачей ввести квадрат комплексной единицы, а также добавить и вычесть первую производную от некоторой гладкой на интервале функции f (u) . При этом получим

Введенную в (33) производную от вспомогательной функции f (u) можно представить во второй левой скобке в виде

Подставляя (34) в (33), приходим к выражению

Из (35) видно, что для идентичности выражений в скобках необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Интегрируя (36), получим

Решение уравнения (36) обеспечивает нам нахождение первого частного решения основного уравнения (31), поскольку в соответствии с обоснованием методики в предыдущей задаче для этого достаточно, чтобы удовлетворялось равенство

или

которое при заданной по условию задачи зависимости g (u) уже интегрируемо. В частности, при переходе к линейному случаю, когда

мы приходим к дифференциальному уравнению

со стандартным решением

Для нахождения второго частного решения, как и в предыдущей задаче, необходимо перегруппировать выражение (35), а именно

При этом вспомогательное дифференциальное уравнение для f (u)   будет тем же, но уравнение (38) изменится и примет вид

или

Сумма решений уравнений (39) и (44) дает общее решение дифференциального уравнения (31). В линейном случае решение, как и полагается, примет вид

Но это не означает, что в общем случае решение уравнений (39) и (44) будет иметь вид столь тривиальных гармонических функций. Например, при

решением данной системы уравнений будет выражение

В принципе, (47) не всегда может быть сведена к некоторой экспоненциальной комплексной функции. В частности, при начальном условии С = 0

4. Перспектива развития методики

Проведенный поиск решений на двух характерных типах нелинейного волнового уравнения показывает, что представленная методика преобразований позволяет свести дифференциальное уравнение второго порядка к уравнению первого порядка, что существенно облегчает поиск решения задачи даже в случае, когда для интегрирования придётся использовать численные методы, не говоря уже о том, что во многих случаях появляется возможность получения аналитического решения, что было ранее невозможно. Но этим преимущества методики не ограничиваются и её успешное применение может быть расширено на достаточно широкий класс задач, близких к рассмотренным. В частности, если в первой, рассмотренной выше задаче кроме второй производной и свободного члена в уравнение будет входить первая производная типа q (t) du/dt , как правило, определяющая в физических задачах диссипативные процессы, то решение может быть найдено при следующей перегруппировке членов исходного дифференциального уравнения:

Аналогично, если во второй, рассмотренной выше задаче будет дополнительно присутствовать первая производная типа q (u) du/dt , то решение следует искать при следующей группировке членов исходного дифференциального уравнения:

Последнее уравнение приводит к дифференциальному уравнению первого порядка

решение которого фактически определяет нахождение общего решения задачи.

Литература:

1. Karavashkin, S.B. and Karavashkina, O.N. Investigation of elastic constraint non-linearity. IJMEE, 33 (2005), 2, 116- 133.