СЕЛФ

78 - 79

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

При этом указанные частные формы функции комплексного переменного полностью удовлетворяют условиям неразрывности и однозначности отображения, если последнее понимать не в представлении Коши - Римана, а в более общей форме - в смысле Коши или Гейне.

Действительно, “функция f ( z ) называется непрерывной в точке  z₀ , если она определена в некоторой окрестности  z₀ (включая саму точку  z₀) и

(4)

[1, с.20].

Учитывая, что “при z z₀ функция w = f ( z ) имеет своим пределом в смысле Коши число w₀ если для любого > 0  существует такое () > 0, что неравенство

79

(5)

имеет место для всех z E C(, z₀)” [2, с. 35], выражение (4) можно записать в виде

(6)

в силу справедливости следующих утверждений:

Подставляя любую функцию из (3) в (6), мы получим, что в случае непрерывности функций действительного аргумента u и v, функция комплексной переменной w также является неразрывной и наоборот, если хотя бы одна из функций действительного аргумента u или v будет разрывной, то функция комплексной переменной w также будет разрывной, поскольку будет нарушено по крайней мере одно из равенств системы (6).

Так же просто доказывается соответствие между однозначностью отображения z на w и однозначностью функций действительного аргумента u и v.