90 - 91

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Дифференцируя (31) по х, получим

Дифференцируя (31) по у, получим

Умножая (33) на i и вычитая его из (32), получим

Заменяя в (30) члены ²w/y² и ²w/xy согласно (32) и (34), получим

Проводя аналогичные операции в отношении остальных производных, получим

Равенство (36) свидетельствует, что для функций, аналитических по Коши - Риману, полная вторая производна по z также сохраняет свои свойства независимости от направления ее исчисления и не зависит ни от  ₁, ни от ₂. Если представить в (36) функцию w( x, y) через u и v, то придем к системе равенств

и

которые представляют собой уравнение Лапласа для двух переменных. Из этого вытекает еще одно свойство центрально-симметричных функций комплексного переменного:

т.е. и действительная, и мнимая их части обязаны удовлетворять уравнению Лапласа.

Подытоживая проведенное исследование, следует сказать, что результаты наглядно показывают значительно более широкие возможности, заложенные в теории функций комплексного переменного, причем часть этих возможностей может быть перенесена в аппарат векторной алгебры, в теорию функций нескольких переменных. А некоторые результаты могут быть использованы даже для анализа действительных функций одного переменного. В связи с этим очень хотелось бы надеяться, что несмотря на всю простоту приведенных выкладок, значение работы будет оценено верно и она получит достойное развитие, как и другие разделы и области математики.

91

В заключение в качестве наглядного примера рассмотрим применение изложенных построений для решения дифференциального уравнения второго порядка

[3, с. 61]. Для упрощения решения представим z в полярной форме

Подставим (23), (29) и (41) в (40); получим