Материалы, Технологии, Инструменты

8

С.Б. Каравашкин

Представленные решения еще раз подчеркивают огромное разнообразие форм и рисунков колебаний в зависимости от типа и параметров линии.

Проверим соответствие представленных решений (13), (16), (17) системе (12). Для этого достаточно подставить их последовательно в первое, произвольное i-е и в последнее уравнения этой системы.

Для периодического режима в левой части первого уравнения системы (12) имеем:

в правой части:

Для левой части i-го уравнения системы:

для правой части:

Для левой части последнего уравнения системы

для правой части

Таким образом, периодическое решение полностью удовлетворяет системе (12).

Для апериодического режима достаточно проверить удовлетворяемость любому из уравнений системы, поскольку, как было показано в [1], данный режим, как и критический, является одной из форм единого решения, и если периодическое решение удовлетворяет системе, то решения для апериодического и критического режимов будут удовлетворять автоматически. Поэтому проведем контрольную проверку, например, для первого, самого сложного уравнения системы.

Для левой части получим

Для правой части получим

Аналогично, в левой части первого уравнения для критического режима

в правой части

Как можно видеть, если решения полны и точны, то они удовлетворяют и общему уравнению системы, и краевым уравнениям, и уравнению, содержащему возбуждающую силу. При этом из характера приведения уравнений видно, что в каждом случае способы приведения различны, поскольку в самих решениях присутствуют свои специфические множители, соответствующие каждому из уравнений моделирующей системы и тем самым обеспечивающие в каждом случае установление тождества. И это еще одно интересное свойство полученных решений, вследствие которого получается, что одно и то же решение одновременно удовлетворяет нескольким типам дифференциальных уравнений. В этом была главная сложность и главная причина неудач в поисках точных решений многими поколениями ученых.