Материалы, Технологии, Инструменты

10

С.Б. Каравашкин

Таким образом мы видим, что точные аналитические решения (32) существенно отличаются от известных решений.

В том, что выражения (32) действительно являются решениями, легко, как и ранее, убедиться путем их непосредственной подстановки в первое, i-е и последнее уравнения моделирующей системы (29).

Для левой части первого уравнения

для правой части

следовательно,

Для левой части i-го уравнения

для правой части

Для левой части последнего уравнения

для правой части

Исходя из вышеописанного и с учетом теоремы о единственности решений дифференциальных уравнений, можно с уверенностью говорить о том, что точными являются решения, приведенные в пп. 3.1–3.2, что существенно изменяет наше представление о картине колебательных процессов в конечных линиях. Как и в рассмотренных в работе [1] бесконечных линиях, решения трансформируются в соответствии с особенностями линии, сохраняя тем не менее блочную структуру решения. В этом мы можем убедиться, рассмотрев конечную линию с незакрепленным началом и закрепленным концом.

Рис. 5. Модель упругой линии с незакрепленным началом и закрепленным концом

3.3. Вынужденные и свободные колебания в линии с незакрепленным началом и закрепленным концом

На рис. 5 приведена модель упругой линии с незакрепленным началом, на которое воздействует внешняя гармоническая сила F(t) , и закрепленным концом.

Этой модели соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

Данной системе уравнений соответствуют три решения.

для периодического режима при <1

Диаграмма колебаний для периодического режима представлена на рис. 6.

Рис. 6. Диаграмма колебаний для периодического режима (m = 0,01 кг, s = 100 Н/м, a = 0,01 м, n = 8, F₀ = 0,6 Н, f = 15 Гц)