102

С.Б. Каравашкин т О.Н. Каравашкина

Тот факт, что условия, определяющие классы функций, осуществляющих конформное и квазиконформное отображения, не является полным, для определения множества аналитических функций, можно очень просто показать, приведя несколько примеров. Так на рис. 1 отображение. осуществляемое функцией

где a, b, c, p - некоторые постоянные величины. Как видно из построения, данная функция осуществляет однозначное непрерывное отображение полубесконечной полосы плоскости Z  на внешность окружности плоскости W (отрицательная полубесконечная полоса будет отображаться на внутренность окружности и в этой области отображение также будет непрерывным и однозначным) . Конечно же, условиям Коши - Римана функция (4) не удовлетворяет. Попробуем применить к ней вышеприведенные условия "квазиконформности" (2), (3). Первые частные производные w  по x и y  будут иметь вид:

Подставляя (5) в (2) можно определить неизвестные пока коэффициенты:

Наконец, подставляя (6) в (3), получим:

Из (7) видно, что для функции (4) условие (3) не выполняется. При определённых значениях входящих в A параметров и коэффициентов, его величина может быть или отрицательной или знакопеременной. В то же время построение на рис. 1 демонстрирует, что отображение однозначно и непрерывно, а следовательно, удовлетворяет условиям аналитичности. При том, что (4) не соответствует условию (3), несложно показать, что функция (4) отображает бесконечно малые окружности плоскости Z в бесконечно малые эллипсы в плоскости W, что характерно именно для квазиконформных отображений. Действительно, для любой - окрестности точки z₀ = x₀ + jy₀   в области определения плоскости Z , отображающейся в - окрестность точки w₀ = u₀ + jv₀  плоскости W , можно для функции (4) записать:

Для любой фиксированной точки области определения система (8) эквивалентна системе:

где A₁, B₁, C₁, D₁   постоянные величины, изменяющиеся только при изменении координат выделенной точки на плоскости Z. Но (9) отображает (в случае исследуемой функции), круг на эллипс, поскольку, согласно (8), все вышеуказанные коэффициенты в области определения Z являются ограниченными функциями, а следовательно, всегда можно найти такое малое (x,y) , чтобы выполнялось условие w() . Это и доказывает утверждение.