109

Об условиях аналитичности комплексной функции

На рис. 7 представлен вид траекторий тела в том же поле, но при вчетверо меньшей массе, равной m = 0,25 кг. Как и в вышерассмотренном случае, частотный диапазон может быть условно разделён на четыре поддиапазона.

В первом поддиапазоне квазистационарного поля, тело движется по касательной к силовой линии поля в начальный момент времени. Появление медленных изменений поля во времени ( = 0,2 с^-1) приводит к смещению траектории по часовой стрелке и некоторому искривлению траектории вследствие малых отклонений силовыми линиями поля.

Во втором поддиапазоне траектория представляет собой сначала движение в канале, образованном силовыми линиями поля ( = 0,4 с^-1); потом движение вдоль эквипотенциальных линий с резким отражением в периферийную зону поля ( = 0,5 с^-1); потом изменение направления обхода ядра поля ( = 0,6 с^-1), и, наконец, обход ядра поля справа по эквипотенциальным линиям с резким отражением в область слабого поля ( = 0,65 с^-1). Таким образом, те же характерные траектории движения прослеживаются и при меньшей массе тела, но при иных частотах изменения внешнего поля.

В третьем диапазоне ( = 0,7 - 2,0 с^-1) хаотичность движения оказывает существенно большее влияние на траекторию движения тела. В частности, при = 2,0 с^-1 мы можем наблюдать резкий разворот траектории с вхождением тела в область более сильного поля. Однако, основные закономерности сохраняются и в этом поддиапазоне. Смещение начальных участков траектории с ростом частоты происходит по часовой стрелке.

В четвёртом поддиапазоне ( > 2,0 с^-1) направление смещения траектории изменяется на противоположное, а поперечные колебания тела постепенно сглаживаются. Закономерной особенностью движения в данном поддиапазоне при уменьшении массы тела является появление отражения тела при выходе в область слабого поля, что можно наблюдать на обеих приведенных траекториях данного поддиапазона.

Следует отметить, что даже если мы уменьшим массу тела до очень малой величины, вышеуказанные особенности движения в воронкообразном гармоническом поле, в целом, сохранятся, хотя отражения силовыми линиями поля в этом случае будет оказывать очень большое влияние. В качестве иллюстрации, на рис. 8 приведен график траекторий тела с массой m = 0,0025 кг, что ещё в сто раз меньше массы тела на предыдущем графике. Особенно хаотичны движения тела в четвёртом поддиапазоне ( 20,0 с^-1). Однако, несмотря на сложный характер траекторий, очень напоминающий Броуновское движение, их вид также имеет определённые закономерности и упорядоченность. На рисунке чётко прослеживаются все четыре вышеописанных частотных поддиапазона. Касаясь же хаотичного характера траекторий, представленных на рис.8, интересно соотнести их вид с их прообразом, например, для случая  = 40,0 с^-1.

Параметрический вид зависимостей x и y координат указанного прообраза от времени представлен на рис.9, а сам прообраз траектории в плоскости Z показан на рис. 10. На рис. 9 и особенно на рис. 10 мы видим вполне закономерное движение прообраза исследуемого тела.

Прообраз траектории на рис. 10 представляет собой уступами поднимающуюся кривую, с некоторыми искажениями на нижнем уровне. При этом, примечательно, что в конце первого уровня прообраз траектории заходит вниз за полосу исходного однолистного отображения. Второй уровень расположен между исходной полосой и вышерасположенной, а третий уровень полностью расположен в вышележащей полосе. Таким образом, мы видим, что сложная траектория движения тела в плоскости W при = 40,0 с^-1 является аналитическим трёхлистным продолжением прообраза траектории в плоскости Z. Это позволяет говорить о возможности аналитического продолжения многолистных прообразов при использовании динамических неконформных отображений.