105

Об условиях аналитичности комплексной функции

Но с точки же зрения трансформации контура окрестности точки z₀ при её отображении на W, скорость стягивания приобретает первостепенное значение, поскольку именно отношение скорости стягивания к точке w₀ в плоскости W к скорости стягивания к точке z₀ в плоскости Z определяет величину производной вдоль выделенного направления. При этом, различие скоростей по различным направлениям ещё не означает появление разрывов, если оно будет (а для аналитической функции должно быть) гладкой функцией от угла _z . Нашей задачей как раз и является выделить те условия, которые из общего множества функций могли выделить те классы, которые обладали бы вышеуказанными свойствами.

Для этого рассмотрим в плоскости Z некоторую малую - окрестность точки z₀   и в ней параметрически зададим некоторую дугу x(), y(), проходящую через точку z₀ . Тогда для функции, отображающей - окрестность точки z₀  в - окрестность точки w(z₀) , можно в самом общем виде записать:

Иначе говоря, мы представили исследуемую нами функцию w (x, y)   в виде сложной функции от . Если мы теперь продифференцируем данную функцию по , то получим:

В свою очередь,

Из выражений (15) и (16) видно, что, если выбранная нами дуга (вернее семейство дуг) будет регулярной в исследуемой - окрестности, то в (15) все частные производные x и y по будут существовать и общая дифференцируемость функции w (x, y) будет определяться существованием частных производных по x и y . В этом случае достаточно просто воспользоваться определением существования и непрерывности частной производной чтобы обосновать и дифференцируемость самой функции w(x, y). Если же дуга будет нерегулярной, то определённого вывода об общей дифференцируемости функции сделать невозможно. Это и доказывает утверждение, что регулярность дуги в - окрестности точки z₀   позволяет определить дифференцируемость функции w (x, y) вдоль данной дуги (или семейства дуг)

С учётом доказанного, для обеспечения дифференцируемости функции в - окрестности точки z₀ вполне достаточно, чтобы она была дифференцируема для любых регулярных дуг в - окрестности точки z₀. Если в указанной -окрестности найдется хотя бы одна дуга, вдоль которой функция w(z₀) будет недифференцируема, то естественно, что эта функция и в целом не может быть названа дифференцируемой в данной точке (хотя может быть названа частично-дифференцируемой по выделенному направлению или в секторе). И наоборот, если будет отсутствовать регулярная дуга, вдоль которой функция w(z₀) была бы недифференцируема, то любые семейства гладких в -окрестности точки z₀   кривых будут однозначно отображаться в семейства гладких в -окрестности w(z₀) , что соответствует, с учетом ранее доказанного утверждения о регулярных дугах, о полной дифференцируемости функции w(z₀)   в точке z₀.

На основании проведенного исследования и с учетом существующего определения 2 дифференцируемости функций, можно сформулировать определение общей дифференцируемости следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4: Функция комплексного переменного w = f(z)  называется дифференцируемой в общем смысле в точке z = a , если предел

существует при z = a для любой регулярной дуги в d -окрестности точки z = a, проходящей через точку z = a.

Несложно убедиться, что существующее условие дифференцируемости функции по Коши - Риману является частным случаем Определения 4 при дополнительном условии равенства пределов по всем регулярным дугам.

Определив условия дифференцируемости в общем смысле, мы тем самым фактически обобщили и условия аналитичности функций в общем смысле, поскольку, согласно стандартному определению 1, условие дифференцируемости является главным критерием аналитичности функции. Поэтому, следуя разбиению определения дифференцируемости на общее и по Коши – Риману, аналитичность функции также может быть теперь определена в общем смысле и по Коши – Риману. При этом, конечно же, класс функций, аналитичных в общем смысле, будет объемлющим для класса функций, аналитичных по Коши – Риману. Само же определение аналитичности останется неизменным с точностью до уточнений, связанных с дифференцируемостью функций.

Наконец, приведенное нами определение аналитичности функции коплексного переменного может быть легко расширено из - окрестности точки z₀  на некоторую связную область плоскости Z и это не требует каких-либо дополнительных новых доказательств, поскольку и понятие регулярной дуги, и понятие предела функции комплексного переменного, и понятие - и - окрестностей в ходе исследования не трансформировались. В связи с этим, “функция называется аналитической в открытой области D , если она аналитическая в каждой точке этой области ” [1, с.197].

Однако следует отметить, что далеко не всякое расширение понятия аналитичности в общем смысле будет проходить столь просто. В частности, будут определенные проблемы с аналитическим продолжением через границу. Но это тема отдельного серьезного исследования.