Acoustic field of single pulsing sphere

т.2 No 2	13
Акустическое поле одиночной пульсирующей сферы

В качестве второго отображения рассмотрим функции вида [8, с. 150]
	(17)
Согласно вышеуказанному источнику [8], обе функции отображают полуплоскость на внутренность круга. Однако, как видно из рис. 2 и рис. 3, обе функции отображают всю плоскость z на всю плоскость w. Причём, в обоих случаях как эквипотенциальные, так и силовые линии в плоскости w имеют вид окружностей с общей точкой w = 0 в первом случае, и w = - 1 - во втором. Конечно же, представленные отображения также не соответствуют потенциальному полю излучения пульсирующей сферы, что делает невозможным использование обеих в нашем исследовании.
Рис. 2. Общий вид отображения, производимого функцией w = 1/z .
Рис. 3. Общий вид отображения, производимого функцией w = (j + z₂)/(j - z₂) .
На этом основные возможности использования известных отображений исчерпываются. Поэтому попробуем построить необходимую модель поля на основе неконформных отображений. Для этого уточним условия, которым должно удовлетворять интересующее нас отображение. В первую очередь, нам, безусловно, известно, что потенциальное поле вокруг пульсирующей сферы строго радиально и равномерно распределено по углу излучения. Кроме того нам известно, что при отсутствии пульсаций сферы, акустическое поле вокруг сферы отсутствует ( в отличие от ЕМ поля). Из этого следует, что прообразом модели динамического поля мы должны взять плоскую метрику с равномерно распределённой радиальной сеткой, продольная трансформация которой и будет характеризовать акустическое поле в пространстве. При этом эквипотенциальные линии невозмущённой метрики также должны быть равноотстоящими. Указанным требованиям удовлетворяет функция
	(18)
Она неконформно отображает горизонтальную полубесконечную полосу 0 y (2/b), x 0 в плоскости z на равномерную радиальную сетку в плоскости w. Это отображение однозначно в области определения и многолистно при переходе y на соседние полосы y (2/b), x 0 и y (2/b), x 0. Аналитическое продолжение данной функции непрерывно. Эквипотенциальные линии в плоскости z
	(19)
отображаются в окружности радиуса C₁x в плоскости ₁. В свою очередь, силовые линии
	(20)
отображаются в радиальные линии в плоскости ₁, исходящие из точки ₁ = ₁ = 0.. У приведенной функции (18) есть ещё одна особенность. Если мы её несколько видоизменим и запишем следующим образом:
	(21)
то функция (21) будет отображать вышеуказанную полосу 0 y (2/b), x 0 на равномерную радиальную сетку вне окружности радиуса a. Тем самым, функция полностью удовлетворяет модели стационарной метрики радиального поля, необходимой нам для построения динамической модели.