т.4 No 1

7

О градиенте потенциальной функции

Вследствие этого динамический градиент будет описываться двумя проекциями  vectorel.gif (841 bytes)r и vectorel.gif (841 bytes)tetabottom.gif (823 bytes), а уравнение для нахождения градиента может быть представлено в стандартном виде:

(14)

Выражение (14) мы можем преобразовать для разделения производных по соответствующим приращениям, как мы это и делали в случае неподвижного источника. При этом получим

(15)

Как видно из (15), градиент скалярного потенциала в случае движущегося источника тоже разделяется на два слагаемых, их которых первое представляет собой стандартное выражение для градиента скалярной функции по координатам, а второе слагаемое, как и в предыдущей задаче, определяет изменение потенциала во времени. Конечно, напрямую заменить второе слагаемое на векторный потенциал, как мы это сделали в случае пульсирующего источника, в общем случае сложно. Здесь нужно в каждом конкретном случае рассматривать условия моделирования, но, например, для дальней зоны это второе слагаемое значительно упрощается, поскольку можно пренебречь тангенциальной проекцией  vectorel.gif (841 bytes)tetabottom.gif (823 bytes).

Действительно, если колебания источника поля вокруг положения равновесия имеют гармонический характер, то согласно построению на рис. 4 мы имеем право записать

(16)

где omegacut.gif (838 bytes) - круговая частота колебаний источника.

При этом

(17)
и

(18)

где lumbdacut.gif (841 bytes) - длина волны излучения.

Из (18) следует, что в дальней зоне при  r >> lumbdacut.gif (841 bytes) и при ограниченности производной, выражение в правой части будет сколь угодно малым, что позволяет пренебречь им, по сравнению с радиальной компонентой в выражении (15). Фактически данная операция означает пренебрежение для дальней зоны различием расстояний от точек траектории движения источника до исследуемой точки P0 , что и было произведено в [3] при переходе от интегрального решения уравнения Лапласа для векторного потенциала к аналитическому.

С учётом (18) мы приходим к выражению, аналогичному полученному для пульсирующего источника

(19)

которое удовлетворяет условию (12).

Для ближней зоны, где пренебрегать тангенциальной компонентой нельзя, правомерно записать зависимость между скалярным и векторным потенциалами в виде

(20)

При этом несложно убедиться, что уравнение связи (20) удовлетворяет условию (12).

Содержание: / 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 /

Hosted by uCoz