frame_rus

2.3. Взаимоотношение углов во взаимно движущихся системах отсчета с точки зрения релятивистской концепции

При представлении решения задачи о преобразованиях координат путем введения промежуточных систем отсчета мы могли убедиться, что различные пути приводят к различным решениям, что не характерно для евклидовых пространств. В качестве одной из предполагаемых причин подобного несоответствия релятивисты обычно приводят искажение углов при преобразованиях или поворота осей на мнимый угол.

Вместе с тем, как известно, одним из условий постановки Эйнштейном задачи нахождения преобразований Лоренца является именно параллельность координат: “Пусть теперь началу координат одной из этих систем (k) сообщается (постоянная) скорость v в направлении возрастающих значений x другой, покоящейся системы (K); эта скорость передается также координатным осям, а также соответствующим масштабам и часам. Тогда каждому моменту времени t покоящейся системы (K) соответствует определенное положение осей движущейся системы, и мы из соображений симметрии вправе допустить, что движение системы k может быть таким, что оси движущейся системы в момент t (через t всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны осям покоящейся системы” [1, с. 13].

На данной обусловленности взаимной параллельности осей Эйнштейн основывает исходные уравнения преобразований в общем виде, которые в ходе его вывода приобретают форму преобразований Лоренца: “… можно выбрать обе системы координат так, чтобы ось x системы S и ось x' системы S' совпадали и чтобы отнесенная к S ось y' системы S' была параллельна оси y системы S… Из известного теперь положения координатных плоскостей системы S' относительно S непосредственно вытекает, что каждые из следующих уравнений попарно эквивалентны:

[4, с. 71].

Как мы можем видеть из цитаты, система уравнений (16) записана именно для параллельности осей взаимно движущихся систем отсчета и никаких поворотов не предполагает, как не предполагает и преобразований в криволинейных пространствах.

Также неосновательны ссылки релятивистов на повороты при преобразованиях. Подобные повороты в линейных пространствах задаются принципиально отличными от (16) выражениями, а пространство СТО по условию, введенному Эйнштейном, строго линейно: “Можно сразу сказать, что эти уравнения должны быть линейными по отношению к указанным переменным, поскольку этого требуют свойства однородности пространства и времени” [4, с. 71]. Из этой же линейности следует и то, что трехмерное пространство СТО (пространственные оси) является евклидовым: “Равенство нулю тензора кривизны в евклидовом пространстве очевидно. Однако уже Риман в своей диссертации указал, что верна и обратная теорема: если тензор кривизны равен нулю, то пространство – евклидово, т.е. тогда можно найти такую систему координат, в которой g_ik постоянны. Впервые обстоятельное доказательство этого утверждения дал Липшиц. Очень изящное и наглядное рассуждение было проведено Вейлем” [2, с. 78].

Таким образом ни о нелинейности пространства, ни о преднамеренных поворотах осей в теореме Эйнштейна говорить не приходится, а значит, в обоих вариантах, представленных в п. 2.2, все оси основных и вспомогательных систем отсчета сохраняют свою взаимную параллельность и в обоих случаях преобразование происходит из одной и той же системы отсчета S₁ в ту же самую систему отсчета S₂ .

Тем не менее, чтобы снять излишние возражения релятивистов, рассмотрим закономерность преобразования углов во взаимно движущихся системах отсчета. При этом сразу обратим внимание на тот факт, что мы в данном случае не можем воспользоваться стандартной релятивистской формулой трансформации углов [2, с. 32]:

В соответствии с обозначениями Паули, выражение (17) записано для преобразования угла наклона скорости при переходе из подвижной (штрихованной) системы отсчета в неподвижную (нештрихованную). Именно в связи с этим в правой части (17) фигурирует не только взаимная скорость систем отсчета v , но и скорость тела u' относительно подвижной системы отсчета. А это в релятивистском формализме означает, что для неподвижных относительно подвижной системы отсчета тел, с которыми обычно соотносят начало системы отсчета, формула (17) теряет смысл и для преобразования пространственных углов нужно использовать иную зависимость, выведенную именно для преобразования углов пространственного вектора, неподвижного относительно подвижной системы отсчета. Отметим здесь, что в классической физике данное различие абсурдно, но в рамках ее формализма не происходит и трансформации пространства-времени, как и сохраняется соответствие между углами наклона векторов во всех инерциальных системах отсчета. В релятивизме это условие преднамеренно нарушено, поэтому и закономерности трансформации углов необходимо искать для векторов скорости отдельно и для пространственных векторов отдельно, и как мы увидим дальше, данные зависимости принципиально различны.

Чтобы найти закономерность трансформации пространственных углов при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую в рамках релятивистской концепции, рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K' , из которых последняя движется в направлении положительных значений оси x системы отсчета K с сохранением полного совпадения осей x и x' . Пусть также в системе отсчета K' находится пространственный вектор ' , угол наклона которого к оси x' равен ' и начало которого совпадает с началом системы координат K' , как показано на рис. 6. Определим угол наклона этого вектора в неподвижной системе отсчета K .

Чтобы корректно произвести расчет искомой зависимости углов, мы должны, в отличие от классического формализма, учитывать не только пространственные, но и временные характеристики, поскольку, как показано нами в предыдущих работах, преобразования Лоренца наклоняют плоскость событий, вследствие чего появляется мнимая неодновременность. И если мы предполагаем, что угол наклона пространственного вектора производится в физическом времени каждой системы отсчета (что соответствует условию вывода Эйнштейном преобразований Лоренца), то мы должны производить дополнительные преобразования, чтобы согласовать результаты преобразований с физическим временем в каждой системе отсчета.

С учетом вышеописанного, чтобы преобразовать вектор ' , нам необходимо преобразовать положение начала и конца этого вектора. В соответствии с условием задачи и на основе стандартных преобразований Лоренца,

для начала вектора x'₁ = 0 , y'₁ = 0 , t' = t'₀ и

Из (18) и (19) мы видим, что координаты начала и конца вектора в неподвижной системе отсчета, как и ожидалось, отображаются в различные моменты времени. Чтобы ввести в соответствие полученные значения с физическим временем в неподвижной системе отсчета, достаточно учесть, что все точки, соответствующие этому пространственному вектору, равномерно смещаются во времени вдоль оси x системы отсчета K . Поэтому если положение начала вектора (x₁ , y₁) соответствует времени t₁ , то в этот момент времени конец вектора находился в точке с x-проекцией

Полученное выражение (23) описывает искомую зависимость, связывающую углы наклона пространственного вектора во взаимно движущихся инерциальных системах отсчета в релятивистской концепции. Сравнивая это выражение с законом трансформации векторов скорости (17), мы видим принципиальное отличие в самом характере зависимости. Это свидетельствует о том, что вектора различной природы в релятивистской концепции преобразуются различным образом.

Далее, из (23) мы видим, что углы наклона пространственных векторов, направленных вдоль осей подвижной системы отсчета, не трансформируются, т.е. при ' = 0 имеем = 0 , а при ' = /2 получаем, что и = /2. Таким образом мы строго математически доказали, что никакого поворота пространственных осей, о котором говорят релятивисты, при движении системы отсчета K' не происходит. Но углы, отличные по величине от указанных, трансформируются в соответствии с релятивистским множителем.

2.4. Доказательство сохранения параллельности осей при переходе из неподвижной системы отсчета в подвижную с использованием промежуточной системы отсчета, движущейся в направлении одной из проекций

В предыдущей задаче мы рассмотрели закономерности трансформации наклонного пространственного вектора, движущегося с началом подвижной системы отсчета, и показали, что при горизонтальном и вертикальном положении этого вектора трансформация угла наклона отсутствует. В данной задаче мы усложним движение этого пространственного вектора, заставим его смещаться еще и в поперечном направлении.

Пусть имеются неподвижная инерциальная система отсчета S₁ и подвижная система отсчета S' , движущаяся по оси x₁ неподвижной системы отсчета со скоростью v_x1 в направлении положительных значений x₁ , сохраняя параллельность осей. И пусть имеется некоторый отрезок AB , движущийся вместе с системой отсчета S' и одновременно с этим в направлении оси y' . При этом движение осуществляется таким образом, что точка A отрезка движется строго по оси y' , как показано на рис. 7.

Положим, что длина отрезка равна l , продольная скорость отрезка как целого с точки зрения неподвижной системы отсчета равна v_x1 , поперечная скорость, опять-таки с точки зрения неподвижной системы отсчета равна v_y1 , а угол наклона отрезка к оси x₁ равен ₁ . Определим угол наклона отрезка в подвижной системе отсчета S' . Также для упрощения выкладок положим, что в начальный момент времени t₀ = 0 начала обеих систем отсчета и точки A совпадают.

Для решения поставленной задачи прежде всего запишем уравнения движения исследуемого отрезка в неподвижной системе отсчета S₁ . Для этого нам достаточно записать уравнения движения его начала и конца. С учетом начальных условий, данные уравнения будут иметь вид

Следующим шагом определим законы движения концов стержня в подвижной системе отсчета. Для этого, как и в предыдущей задаче, нам необходимо доопределить задачу и учесть фактор физического времени. Чтобы сделать это корректно, вспомним, в связи с чем появилась задача о стержне при рассмотрении основной задачи о переходе из системы отсчета S₁ в систему отсчета S₂ , движущейся плоскопараллельно относительно S₁ под углом к ней. Эта задача возникла в связи с тем, что нам необходимо доказать, что при использовании промежуточных систем отсчета S' и S" , движущихся в направлениях проекций скорости движения системы отсчета S₂ , оси S₂ не поворачиваются относительно S₁ . При этом, поскольку в основной задаче рассматривается переход между S₁ и S₂ , то ориентация осей S₂ в физическом времени S' не играет никакой роли. Важен вопрос, поворачивается ли S₂ по отношению к S₁ при переходе через S' или S" . Исходя из этого, а также учитывая, что в преобразованиях Лоренца закладывается, как правило, физическое время той системы отсчета, из которой мы осуществляем преобразования, т.е. в данном случае S₁ , нас интересует сохранение параллельности осей S₂ именно по отношению к S₁ , в физическом времени исходной системы отсчета S₁ . Стержень же мы можем рассматривать как некоторую обобщенную модель осей системы отсчета S₂ .

Определившись в данном вопросе, мы можем продолжить исследование. Исходя из дополнительного условия, а также учитывая, что подвижная система отсчета движется в направлении оси x₁ , будучи параллельной ей, мы можем записать уравнения движения концов стержня в подвижной системе отсчета в виде

С учетом (29) и (30) у нас отпадает необходимость вычисления преобразования времени. Одновременность же с точки зрения системы S₁ мы фактически учли в ходе подстановки (26) и (28) в (30).

Используя (29) и (30), мы можем определить угол наклона стержня относительно подвижной системы отсчета S' в физическом времени системы S₁ . И этот наклон стержня, как уже было сказано, при определенной ориентации будет моделировать положение осей S₂ по отношению к S₁ :

Из (31) следует, что положение направленного отрезка AB , имитирующего оси системы отсчета S₂ при ориентации, кратной k/2 , k = 0, 1, 2, 3 , сохраняет свое значение; тем самым сохраняется и параллельность осей системы отсчета S₂ по отношению к осям S₁ . Аналогично можно доказать и для перехода из S₁ в S₂ с использованием промежуточной системы отсчета S" , движущейся в направлении v_y1 по отношению к S₁ .

Также из проведенного исследования следует, что неоднозначность, возникающая при различных переходах из S₁ в S₂ , не связана с тем, что в зависимости от пути мы приходим в различные системы отсчета. Мы видели, что идя через промежуточные системы S' или S" , движущиеся в направлении проекций скорости, мы не изменяем наклон системы отсчета S₂ по отношению к S₁ , а используя в обоих случаях одну и ту же физическую точку A₂ для построения S₂ , мы в обоих случаях приходим к системе отсчета, в начале которой расположена одна и та же физическая точка A₂ , а оси в обоих случаях сохраняют параллельность системе отсчета S₁ . Неоднозначность полностью обусловлена неоднозначностью результата, который получается при использовании преобразований Лоренца.

И это важный вывод, показывающий, что причина различия, возникшего между первым и вторым вариантами в п. 2.2, не обусловлена тем, что идя различными путями, мы якобы приходим к различным системам отсчета S₂ . Выкладки показывают, что если мы при произвольном числе промежуточных систем отсчета будем переходить от одной системы отсчета к другой, используя движение последующих промежуточных систем отсчета вдоль осей предыдущих систем отсчета, то независимо от количества этих промежуточных систем, параллельность осей всех систем отсчета будет сохраняться. А следовательно, идя различными путями от исходной системы отсчета S₁ к конечной системе отсчета S₂ через посредство промежуточных систем, двигающихся в направлении осей исходной системы S₁ , мы будем всегда получать систему отсчета S₂ той же ориентации, но различной степени продольной трансформации длин по осям, свидетельствующей исключительно о неоднозначности перехода, осуществляемого преобразованиями Лоренца при произвольном инерциальном движении систем отсчета.

т.7 No 1	3
О неоднозначности преобразований между инерциальными системами в СТО