14

С.Б. Каравашкин

Каждая из образовавшихся систем дифференциальных уравнений аналогична по типу системам, исследованным в [1]. Вследствие этого мы можем сразу записать точные аналитические решения для каждой из представленных систем.

Для x-составляющей колебаний имеем:

периодический режим ( < 1)

Для y-составляющей колебаний имеем соответственно:

периодический режим ( < 1)

где = (²m/4s)^1/2 ; = arcsin ; _- = - (² - 1)^1/2 ; F₀ - амплитуда внешней силы; n = 1, 2, 3, .. - номер исследуемого элемента упругой линии; - круговая частота воздействующей силы.

В результате наложения образуется наклонная волна, распространяющаяся в положительном направлении оси x, что и подтверждает диаграмма колебаний, представленная на рис. 2.

Рис. 2. Диаграмма колебаний в полубесконечной линии под действием силы под углом к оси линии: m - 0,01 кг, s = 100  Н/м, a = 0,01 м, = 60^o, F₀   = 2 Н, f = 15 Гц

Характерно, что наклонный характер колебаний сохраняется и при свободных колебаниях в линии с сосредоточенными параметрами, и при предельном переходе к линии с распределенными параметрами.

Действительно, на основе результатов, приведенных в работе [1] - например, для случая свободных колебаний - искомое решение будет иметь следующий вид:

для x-составляющей колебаний:

где X_k и Y_k - x- и y-компоненты амплитуды колебаний k-го элемента, параметры колебаний которого задаются, k в данном случае – номер элемента, колебания которого заданы.

В случае предельного перехода к линии с распределенными параметрами, по аналогии с преобразованиями, проведенными в работе [3], можно представить

где - плотность, T - натяжение в линии, x₀ - расстояние от начала линии до точки покоя исследуемого элемента линии. При этом решения (3)- (8) преобразуются к системе уравнений

Полученная система уравнений описывает в параметрическом виде наклонную волну, распространяющуюся вдоль оси x, что показано на рис. 3.

Рис. 3. Колебания в линии с распределенными параметрами под действием внешней наклонной силы на начало линии. Угол наклона = 60^o