16

С.Б. Каравашкин

Рис. 4. График наклонных колебаний, описываемых неявной функцией, являющейся решением волнового уравнения при ₁ = 45^o, ₂ = 60^o

Таким образом, решение (14) определяет целый класс неявных функций, удовлетворяющих линейному волновому уравнению. Причем наличие нового класса функций, являющихся решением уравнения (12), нисколько не нарушает теоремы о единственности решения дифференциальных уравнений, поскольку при определенных условиях

выражение (14) вырождается в (13). Тем самым доказывается, что существовавшее ранее решение является частным случаем более общего класса функций.

Найденный класс неявных функций определяет нелинейную волну, степень искажения которой зависит от вида функций ₁(y) и ₂(y) . Например, при частном виде выражения (14) (см. рис. 4)

решение волнового уравнения (12) описывает прогрессивную волну, распространяющуюся вдоль оси x и наклоненную на угол , что находится в полном соответствии с вышеисследованными наклонными колебаниями в одномерной линии.

5. Изменение теоремы о дивергенции вектора в динамических полях

Исследуя изменения, появляющиеся в решениях волновой физики, нельзя не коснуться вопроса об изменениях в уравнениях векторной алгебры, обусловленных учетом динамических процессов в силовых полях.

Рис. 5. Диаграмма для расчета разности потока вектора в случае одномерного потока, зависящего от времени

Как известно, основные законы сохранения, связанные с потоком вектора, были сформулированы на основе теоремы Остроградского – Гаусса о потоке вектора через выделенный объем пространства. В свою очередь также известно, что теорема Остроградского – Гаусса сформулирована для стационарных полей, т.е. для случая, когда вектор потока не зависит впрямую от времени. В динамических полях картина существенно изменяется.

Действительно, пусть в некоторой ограниченной связной, свободной от источников и стоков пространственной области (см. рис. 5) распространяется плоскопараллельная волна, зависимость силового вектора (x,t) которой имеет стандартный вид

Выделим в данной области четыре площадки a₀, a₁, a₂, a₃ , нормальные к направлению распространения волны, и образуем с их помощью три выделенных объема V₀₁, V₀₂, V₀₃ , ограниченных соответствующими площадками и соединяющей их боковой поверхностью. При этом, учитывая одномерный характер волны и параллельность (x,t) боковой поверхности выделенных объемов, в дальнейшем рассмотрении боковые поверхности учитываться не будут.

На базе приведенной модели рассмотрим стандартное определение дивергенции вектора (см., напр., [5, с. 166] ):

где V - исследуемая область, содержащая точку (); S – замкнутая поверхность, ограничивающая область V; здесь обозначает наибольшее расстояние от точки () до точек поверхности S.

Поскольку выделенные нами объемы V₀₁, V₀₂, V₀₃ конечны, сначала исследуем выражение

где i =1, 2, 3 . Для этого построим эпюры изменения (x,t) в пространстве и времени с учетом прогрессивного характера волнового процесса и определим _0i = _i - ₀  для всех выделенных объемов. Это несложно сделать, учитывая плоский характер фронта волны и одномерность потока вектора, вследствие чего интегрирование сводится к простому перемножению параметров вектора в выделенный момент времени в исследуемой точке на величину соответствующей площадки выделенного объема. Полученные результаты приведены на рис. 5 (внизу и справа). Как видим, _0i  изменяется во времени для всех выделенных объемов и различна для всех площадок a₀, a₁, a₂, a₃ , хотя расчет делается по отношению к общей для всех объемов площадке a₀ . Более того, если на основе полученных значений _0i построить зависимость _0i (t) , то выяснится, что и амплитуды, и фазы изменения разности потоков _0i для всех выделенных объемов различны, как различны эти параметры и для G_i . Более того, с уменьшением размера выделенного объема G_i возрастает, стремясь к некоторому конечному предельному значению. Тем самым подтверждается, что поток вектора через выделенный объем в динамических полях не остается постоянным во времени. При этом сам факт колебаний _0i обусловлен не пространственными параметрами, а именно прогрессивным характером волнового процесса, что несложно доказать математически.