Acoustic field of single pulsing sphere

СЕЛФ	14
С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

4. Построение динамической модели одиночной пульсирующей сферы Для того, чтобы построить динамическое неконформное отображение, нам необходимо корректно ввести временной параметр в функцию (21). Как мы договорились ранее, будем формировать поле путём продольной деформации исходной стационарной сетки. Для этого нам необходимо знать мгновенное радиальное смещение эквипотенциальных линий сетки r. Его мы можем определить, проинтегрировав (1) по времени для некоторой произвольной точки с радиус-вектором в невозмущённом состоянии, равным r₀. При этом получим
	(22)
Следует принять во внимание, что величина r в (22) определяется как разность между смещением частиц среды в момент t по отношению к их смещению в момент t₀. Но в нашей задаче мы исследуем смещение по отношению к невозмущённой метрике, в которой для любой точки поля r = 0. Поэтому в выражении (22) мы должны воспользоваться только первым членом в квадратных скобках. Тем самым, мы несколько видоизменяем стандартный интеграл Римана. Действительно, обобщая ситуацию с выражением (22), мы могли бы записать результат следующим образом:
	(23)
где в правой части использованы полуинтегралы, берущиеся только для верхнего предела. Из (23) следует, что при равенстве подынтегральных функций выражение (23) сводится к (22). Но если мы определяем смещение по отношению к метрике, подчинявшейся в момент t₀ иной закономерности, то выражения (23) и (22) не совпадают. Особенно это важно учитывать в задачах исследования структуры полей, где важное значение имеет фаза запаздывания процесса в пространстве и во времени. При этом далеко не всегда начальное смещение будет равно нулю во всём пространстве, и тогда второй полуинтеграл в (23) не обратится в ноль, как в нашем случае. С учётом вышесказанного, мы можем записать зависимость мгновенного смещения частиц некоторой исследуемой точки поля от времени в виде
	(24)
Если возмущающее давление P_a имеет вид (8), то с учётом (5), выражение (24) примет вид
	(25)
где .
Учитывая, что согласно введенному нами отображению (21) (x + a) r,, мы можем переписать (25) в виде
	(26)
и

Имея выражение для r (x,t), нам достаточно несколько видоизменить функцию (21), записав
,	(27)
чтобы полностью определить динамическое неконформное отображение, описывающее излучение одиночной пульсирующей сферы. Как и в динамических отображениях, представленных в [3], прообраз отображения, осуществляемого функцией (25), не зависит от времени. Следовательно, по-прежнему, уравнения эквипотенциальных линий будут соответствовать условию (19), а уравнения силовых линий - условию (20). С окончанием построения динамического неконформного отображения становится ясной причина, почему нас не устраивал комплексный вид параметров P и v_r. В комплексном виде параметры P и v_r описывали в комплексной плоскости сами себя. При построении же неконформного динамического отображения описание поля осуществляется путём трансформации эквипотенциальных линий поля. При этом параметры P и v_r являются характеристиками, определяющими степень указанных трансформаций во времени и в пространстве, в связи с чем комплексная форма записи самих параметров становится избыточной.