т.5 No 2

7

Дополнение 1

Указанные же х-координаты, определяемые условием преобразования из сферических координат в виде [2, с. 201- 202]

линейными не могут быть ни при каких условиях из-за нелинейности x₁ и x₂ . Тем более, что нелинейность этих координат усугубляется нелинейностью метрики в этих координатах [2, с. 202]:

Из (33) мы даже без нахождения значений коэффициентов F, G, H   видим, что на одной из границ области определения метрика сингулярна по x₂   при

Вернее, при условии (34) в сферических координатах сингулярность будет отсутствовать. Действительно,

Но в х-метрике, в которой и производятся все преобразования, данная сингулярность будет иметь место и её безусловно необходимо учитывать, тем более, когда вопрос стоит о линейности элемента именно в этой метрике.

На второй границе при

метрика по x₂ конечна и двузначна, как двузначна во всей области определения за исключением (34).

Кстати, именно при условии (36) Шварцшильд искал решение, предполагая, что оно определяет экваториальную плоскость, а значит, “ввиду симметрии относительно поворотов достаточно записать уравнения поля лишь в экваториальной плоскости (x₂ = 0)” [2, с. 203]. В действительности, как мы видим из (36), условие, записанное Шварцшильдом, определяет полярные области. Причём из-за двузначности метрики - сразу обе области. Так что дифференцирование, которое осуществлял Шварцшильд в этих областях, достаточно сомнительно или как минимум требует дополнительного серьёзного обоснования, - как, кстати, и симметрия относительно поворотов по x₂   в столь нелинейной метрике. Таким образом, даже не касаясь феноменологии описываемых Шварцшильдом процессов, мы видим в его выводе достаточно много завуалированных нарушений математического формализма, которые позволяли ему получать удобные решения.

Одновременно с этим, проведенное выше исследование показывает, что утверждения Эйнштейна о возможности перехода от метрики Минковского (13) к обобщённой метрике (15) тоже не соответствуют действительности и ограничены классом метрик (19), которые он сам же и представил. Но метрика (19), как и исходная метрика Шварцшильда (23) с отсутствующим последним слагаемым в правой части (выражение (31)), имеет принципиально иное решение, которое не приводит к образованию сингулярности на некотором расстоянии от центра точечного гравитирующего тела, что и доказывает непроработанность Шварцшильдом вопроса о правомерности использования метрики (23) в моделировании процессов в гравитационном поле в рамках релятивистской концепции. Следует здесь отметить, что мы могли бы для проверки взять не исходную метрику, используемую Шварцшильдом, но метрику, которую использовал для аналогичной задачи Ландау или, например, Чандрасекар. Во всех случаях при попытке согласовать данные метрики с условием локального сохранения преобразований Лоренца мы получали бы то же самое несоответствие, как и в случае с прямоугольной метрикой Шварцшильда.

И подобное в релятивизме встречается достаточно часто, когда к моделированию подходят сугубо формально, не учитывая всего комплекса особенностей и математических обусловленностей, которым должны удовлетворять уравнения даже в узких рамках релятивистской концепции. В частности, в начале своей работы Шварцшильд правильно указал условие, сформулированное Эйнштейном: “Решение (пространственно) симметрично относительно начала координат в том смысле, что если совершить линейное ортогональное (пространственное) преобразование координат, то опять получится то же самое решение” [25, с. 441]. Но как Шварцшильд интерпретировал это условие? При переходе от прямоугольных координат к сферическим он пишет: “При этом элемент объёма в сферических координатах равен

так что якобиан преобразования от старых координат к новым, равный

отличен от единицы” [2, с. 201]. Но при чём здесь равенство якобиана единице? Если Шварцшильд это предполагал с точки зрения пространственной симметрии метрики, то равенство должно определяться в пределах поворотов исходной метрики. При переходе от одних координат к другим даже в рамках классической аналитической геометрии якобиан не будет равен единице, в обратном случае смысл якобиана полностью теряется. Если же предположить необходимость удовлетворения условию для определителя, указанную тоже Эйнштейном

то она определяется не при переходе из одной системы координат в другую, а из условия сохранения при преобразованиях Лоренца, которые мы представили выше, т.е. из преобразований в локальной метрике, в которых по мысли Эйнштейна должна сохраниться инвариантность 4-интервала. Вернее, если быть до конца точным, то Эйнштейн вывел своё условие (39), исходя из несколько иных соображений: “Если мы сделаем обоснованное в последней работе ([26] - авт.) предположение, что скаляр тензора энергии “материи” всегда равен нулю, то добавляется условие (39)” [25, с. 440]. При этом Эйнштейн подразумевал под понятием “материи” не некоторую весомую материю, а именно эфир, с материальностью которого при разработке основ ОТО он вынужден был сам согласиться. И это подтверждается им самим в ходе доказательства вышеупомянутого предположения: “гипотеза, которая ещё должна быть оправдана, касается следующего: из тензора энергии “материи” T может быть составлен скаляр

Хорошо известно, что для электромагнитного поля этот скаляр обращается в нуль. Наоборот, для с о б с т в е н н о материи он, по-видимому, отличен от нуля. Если мы рассмотрим в качестве частного примера, например, жидкость, то обычно (пренебрегая давлением (! - авт.)) полагают

так что

Следовательно, в этом случае след тензора энергии не обращается в нуль” [26, с. 435]. Но в [25] Эйнштейн рассматривает не электромагнитное, а гравитационное поле. Причём, если в работе “Эфир и теория относительности” Эйнштейн утверждает, что “согласно общей теории относительности, пространство немыслимо без эфира; действительно, в таком пространстве не только было бы невозможно распространение света, но не могли бы существовать масштабы и часы и не было бы никаких пространственно-временных расстояний в физическом смысле слова” [16, с. 689], то в [26] это звучит иначе: “Согласно нашим знаниям (? - авт.), “материю” не следует понимать как нечто изначально заданное, физически элементарное. Есть ещё немало людей, которые надеются, что можно будет свести материю к чисто электромагнитным процессам, однако эти процессы, во всяком случае, происходили бы в соответствии с усовершенствованной по сравнению с электродинамикой Максвелла теорией. Допустим на мгновение, что в усовершенствованной таким образом электродинамике скаляр тензора энергии также обращался бы в нуль (? - авт.)! Доказывал ли бы тогда только что полученный результат, что в такой теории нельзя получить материю? Я думаю, на этот вопрос можно ответить отрицательно, ибо тогда было бы весьма возможно, что существенной составной частью “материи”, к которой относится только что указанное выражение, являются гравитационные поля. В таком случае хотя и могло казаться, что величина (40) для всей системы положительна, в действительности положительна лишь величина

а (40) всюду обращается в нуль. В   д а л ь н е й ш е м   м ы   п р е д п о л о ж и м ,   ч т о   у с л о в и е 

действительно выполняется всегда” [26, с. 436].