Том 4 (1999), No 3, сс. 15-23

15

Точное решение задачи о колебаниях одномерной линии

ГОМЕЛЬ - ИММС НАНБ - 1999, ТОМ 4, № 3, с. 15-23 

УДК 534.1 

Точное аналитическое решение задачи о колебаниях

в одномерной бесконечной упругой линии

с сосредоточенными массами

С.Б. Каравашкин

Специализированная Лаборатория Фундаментальных Исследований SELF

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

В статье проанализированы наиболее существенные недостатки известного решения о колебаниях в бесконечной однородной упругой линии с сосредоточенными массами и приведены точные аналитические решения данной задачи для вынужденных и свободных колебаний полубесконечной и бесконечной линий. Представлен анализ полученных решений, рассмотрена их физическая трактовка. Проведены проверки, подтверждающие полноту и точность решений.

Ключевые слова: математическая физика; волновая физика; динамика; бесконечные упругие линии с сосредоточенными параметрами; системы обычных  дифференциальных уравнений

1. Проблемы современных базовых моделей и их решений

Как известно, моделирование всех без исключения процессов волновой физики базируется на двух типах задач, рассматривающих колебания систем с распределенными и сосредоточенными массами соответственно. Для систем с распределенными массами решение, в целом, известно. Но большинство реальных колебательных систем не может рассматриваться в рамках этой модели: они должны моделироваться системой с сосредоточенными параметрами. Необходимость в этом с каждым годом возрастает по мере повышения области частот исследуемых колебаний и нарушения в этих областях принципа сплошности исследуемых тел. Следует отметить попытки ряда авторов [1, 2] с помощью точного решения задачи для линии с распределенными параметрами хотя бы оценить параметры колебаний сосредоточенных масс путем создания компаундных систем из распределенных и сосредоточенных масс. Но если есть возможность исследовать точную картину процессов в пространстве и во времени, то это, конечно же, всегда предпочтительнее, поскольку даже самые удачные оценки, самые совершенные алгоритмы неспособны заменить точные решения по объему информации и по широте возможного анализа в процессе моделирования.

Рис. 1. Типичная механическая модель бесконечной цепочки упруго связанных сосредоточенных масс (по Г. Пейну [3])

Рассмотрим наиболее распространенные из существующих методы решения задачи о колебании системы сосредоточенных масс. На рис. 1 представлена по Г. Пейну [3] типичная механическая модель бесконечной цепочки упруго связанных сосредоточенных масс. Дифференциальная система уравнений, описывающая данную модель, также по Пейну, имеет вид: 

где m - масса элемента линии; _n - мгновенное продольное смещение n-го элемента линии; s - коэффициент жесткости линии. Ее решением считается выражение

где f - частота колебаний в линии; - круговая частота воздействующей силы; a - расстояние между элементами линии. Однако если мы попытаемся подставить решение (2) в исходную стандартную систему (1), то поймем, что записанное выражение решением не является. Более того, если в бесконечной системе имеют место вынужденные колебания, то в общей системе уравнений (1) должно появиться еще одно уравнение, учитывающее воздействие внешней силы, типа 

где F (t) - внешняя сила, воздействующая на линию. Естественно, выражение (2) этому уравнению удовлетворять тем более не будет.

Кроме того, как будет показано далее, у приведенной системы уравнений имеется по три существенно отличных друг от друга решения для вынужденных и свободных колебаний соответственно, а не одно. Таким образом, можно однозначно заключить, что для бесконечномерных моделей точное решение задачи о колебаниях системы сосредоточенных масс отсутствует полностью. На преодоление данного положения и направлены были те исследования, некоторые результаты которых представлены в этой работе.