Материалы, Технологии, Инструменты

18

С.Б. Каравашкин

Проверим соответствие (8) системе (4). При этом удобно воспользоваться условием осуществления самого режима = 1 на основании выражения (9). Для первого уравнения системы имеем:

Для n-го уравнения

Из (21), (22) видно, что (8) также удовлетворяет системе (4), как и выражения (6) и (7).

Приведенные расчеты показывают, что решения (6), (7) и (8), соответствующие всем трем вышеуказанным режимам колебательных процессов, полностью удовлетворяют всем уравнениям моделирующей системы, в отличие от ранее приведенного известного решения (2). При этом данные решения полны, поскольку охватывают весь интервал 0 < .

Есть и еще одно отличие, заключающееся в том, что минимальные изменения в модели приводят к существенным изменениям в решениях, что несложно продемонстрировать на примере бесконечной линии.

2.2. Бесконечная линия

На рис. 5 представлена механическая модель бесконечной линии.

Рис. 5. Механическая модель бесконечной упругой линии

Система дифференциальных уравнений, описывающая эту модель, имеет вид:

Отличие (23) от (4) заключается в появлении элементов линии с отрицательными номерами n и исчезновении в связи с этим в системе (23) уравнения, описывающего границу линии (первое уравнение системы (4)). В результате вместо трех данная система имеет два решения, соответствующих периодическому режиму при < 1:

и апериодическому режиму при > 1:

Для критического режима конечное решение отсутствует, да и сами решения отличаются как в амплитудной части, так и в фазовой. Характерный вид колебаний для периодического режима приведен на рис. 6.

Рис. 6. Характерный вид колебаний для периодического режима (f = 15 Гц, F₀ = 0,6 Н, m = 0,01 кг, s = 100 Н/м, a = 0,01 м, f_crit = 31,8 Гц, = 0,064 м, _crit  = 0,02 м)