Том 4 (1999), No 3, сс. 15-23

19

Точное решение задачи о колебаниях одномерной линии

Проверим, как данные решения удовлетворяют моделирующей системе уравнений. Для этого достаточно проверить k–е и произвольное i-е уравнения системы (23). Подставим периодическое решение (24) в k-е уравнение системы (23). Для левой части получим:

для правой части

Следовательно, (24) удовлетворяет k-му уравнению системы.

Теперь подставим (24) в i-е уравнение. В левой части получим

в правой части 

Таким образом, периодическое решение полностью удовлетворяет системе уравнений (23).

  Теперь проверим апериодическое решение (25). Для левой части k-го уравнения имеем:

для правой части  

Наконец, для i-го уравнения:

  для левой части

и для правой части

Таким образом, решения (24) и (25) полностью удовлетворяют моделирующей системе уравнений (23). Однако, как было сказано ранее, в отличие от решений для полубесконечной линии, в данной модели отсутствует конечное решение для критического режима. И это несложно доказать, подтвердив тем самым полноту комплекса решений (24)–(25).

  Согласно вышеуказанным условиям критического режима, он является промежуточным между периодическим и апериодическим режимами; следовательно, если мы в апериодическом решении устремим 1, то должны получить решение для критического режима. В равенстве (25) при 0 величина множителя (² - 1) 0, что соответствует бесконечному значению _n в критическом режиме. В противоположность этому, в апериодическом режиме (7) для полубесконечной линии этого не происходит:

т.е. решения (24) и (25) полны так же, как и (6)–(8).

  Вместе с тем мы видим, что решение для апериодического режима свободно трансформируется в решение для критического, что можно доказать и для связи между решениями для периодического и апериодического режимов. В сущности, все три полученных решения являются тремя формами одного решения, которое трансформируется в соответствии с величиной по отношению к единице. При этом в линии формируются принципиально различные типы колебательных процессов. Понимание данного аспекта принципиально важно и с точки зрения физической сущности колебательных процессов, и с точки зрения сохранения справедливости теоремы о единственности решений дифференциальных уравнений.