Том 4 (1999), No 3, сс. 15-23

17

Точное решение задачи о колебаниях одномерной линии

Как видим, решение (6) удовлетворяет первому уравнению системы.

Проведем проверку для n–го уравнения системы (4). Проверка левой части аналогична (12):

При подстановке (6) в правую часть уравнения получим 

Удовлетворяя первому и n-му уравнению, решение (6) удовлетворяет всей системе (4).

  Апериодический режим (7) характерен тем, что все соседние элементы колеблются в противофазе, о чем говорит (-1)ⁿ перед коэффициентом. Кроме того, амплитуда колебаний резко убывает с номером элемента, поскольку всегда _- < 1. Чем больше величина (т.е., согласно (9), чем больше , т или меньше s), тем затухание амплитуды будет сильнее, т.к.  _- 0 монотонно при . Следовательно, идеальная упругая линейная система сосредоточенных масс при данных условиях ведет себя как эффективный демпфер, в котором затухание следует не из диссипации энергии, но из перераспределения энергии колебаний между элементами вдоль линии. Характерный вид колебаний приведен на рис. 4.

Рис. 4. Характерный вид колебаний для апериодического режима (f = 35 Гц, F₀ = 2 Н, m = 0,01 кг, s = 100 Н/м, a = 0,01 м, f_crit = 31,8 Гц)

Апериодические решения удобно проверять с учетом формул приведения (см. табл. 1). 

Таблица 1. Формулы приведения 

где

Подставляя (7) в левую часть первого уравнения системы (4), получим: 

Для правой части имеем:

т.е. решение (7) удовлетворяет первому уравнению системы (4).

  Для левой части n-го уравнения системы получаем

для правой части n-го уравнения: 

Таким образом, решение (7) полностью удовлетворяет системе (4).

Для критического случая (8) характерны противофазные колебания элементов с постоянной амплитудой вдоль всей линии. В бесконечной линии это практически невозможно экспериментально реализовать, поскольку данные решения описывают установившиеся колебания, а в реалиях мы будем наблюдать эффект типа ступеньки, распространяющейся вдоль линии. При этом в спектре колебаний будут присутствовать как частоты критического режима, так и периодического и апериодического. Тем не менее, и в этом случае приведенное решение является важным, поскольку основная мода колебаний будет соответствовать именно критическому случаю.