Материалы, Технологии, Инструменты

16

С.Б. Каравашкин

2. Анализ и проверка результатов, полученных для вынужденных колебаний

2.1. Полубесконечная линия

Рассмотрение начнем с наиболее простой и наглядной модели – полубесконечной упругой линии, общий вид которой представлен на рис. 2.

Рис. 2. Общий вид модели полубесконечной упругой линии

Система дифференциальных уравнений, описывающая данную модель, имеет вид

Как видим, представленная система (4) состоит из граничного (первого) уравнения и бесконечного числа однотипных по структуре уравнений, описывающих поведение всех остальных масс.

Зависимость внешней воздействующей силы от времени представлена гармонической функцией вида

где F₀ - амплитуда внешней силы.

Связка (4)–(5), как известно, описывает установившиеся колебательные процессы, что, казалось бы, несколько ограничивает область проводимого в данной работе исследования из-за исключения из анализа переходных процессов в линии (хотя данное упрощение является стандартным для волновой физики и применяется в большинстве решаемых ее методами задач). Однако, учитывая тот факт, что любое сложное воздействие представимо в виде суперпозиции простых гармонических колебаний, указанного ограничения в действительности не происходит. После получения базовых аналитических решений достаточно просто учесть и спектральные характеристики, и начальную фазу колебаний, тем самым обеспечив возможность моделирования самых сложных по структуре процессов в линии. На этапе же исследования самих базовых решений, дополнительные обобщения только загромоздят выкладки и затруднят анализ. Исходя из этого, в данном исследовании в качестве закона изменения вынуждающей силы будет использоваться выражение типа (5). При этом, конечно же, в ходе анализа будет учитываться вышеуказанная особенность, связанная с установившимся характером колебаний.

Рассматриваемая система имеет три решения:

периодическое при < 1

апериодическое при > 1

и критическое при = 1

где

То есть решения изменяются в соответствии со значением – а следовательно, при заданных параметрах линии, с величиной частоты воздействующей силы, связанной с равенством (9).

Для периодического режима (6) характерно сохранение амплитуды колебаний вдоль линии и запаздывание фазы колебаний с ростом номера элемента на величину 2. Характерный вид колебаний для данного режима приведен на рис. 3. Принципиально важно, что , как в известных решениях (2), а равно arcsin (см. (10) ). При этом при 0, т.е. в случае, когда линия по своим характеристикам приближается к линии с распределенными параметрами.

Рис. 3. Характерный вид колебаний для периодического режима (f = 15 Гц, F₀ = 0,6 Н, m = 0,01 кг, s = 100 Н/м, a = 0,01 м, f_crit = 31,8 Гц)

Проверим правильность полученного решения (6). Для этого подставим (6) в первое уравнение системы (4). При этом в левой части получим

При подстановке (6) в правую часть первого уравнения системы (4) получим: