28

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Специализированная лаборатория фундаментальных исследований СЕЛФ

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Статья посвящена поиску решения задачи о нелинейных колебаниях в однородной упругой линии, содержащей три элемента, соединённых нелинейными упругими связями. Полученное решение имеет вид функционального спектрального ряда, каждая гармоника которого аналитически определяется на основе решения системы уравнений, описывающих колебательный процесс в одной и той же линейной системе под воздействием сил, зависящих от степени нелинейности упругой связи и амплитуды колебаний низших гармоник.

Проведен анализ полученных решений. В частности, выявлено, что граничная частота каждой гармоники понижается пропорционально номеру гармоники, а резонансный спектр гармоники динамического процесса содержит спектр собственных частот, расположенный ниже собственной граничной частоты, и спектр привнесённых частот низших гармоник, расположенный между собственной граничной частотой и граничной частотой первой гармоники.

Показано, что методика рекуррентного определения спектрального состава нелинейного динамического процесса может быть продолжена на модели с нелинейным сопротивлением и на случай воздействия внешней силы сложного спектрального состава.

Ключевые слова: волновая физика, математическая физика, теоретическая физика, системы многих тел, нелинейная динамика, спектр нелинейных динамических процессов

1. Введение

Колебания окружают нас, начиная от природных колебаний Земли (в том числе сейсмических) и внутренних колебаний молекул и до высокотехнологичных средств связи и транспортных средств, любых механизмов и конструкций. Безопасность этих и других конструкций, нашей жизни и деятельности во многом зависит от надежности методов расчета колебательных систем. Как известно, эти методы, в основном матричные, далеки от совершенства, а потому большинство таких систем рассчитывается приближенно и численно. Они очень трудоемки в обработке, что особенно касается систем с сосредоточенными параметрами и систем, которые не могут быть сведены к простейшим базовым моделям.

Как известно, большинство моделей реального мира моделируется для расчета нелинейными системами, которые представляют собой наиболее обширный, сложный и трудоемкий класс задач. "То обстоятельство, что нелинейность общих уравнений теории упругости имеет двоякую природу, приводит к следующей классификации задач этой теории:

г) Геометрически и физически нелинейные задачи" [1, с. 262].

Необходимость в столь полной классификации задач динамики обусловлена серьезными проблемами в их решении. Прежде всего, не существует единого метода решения нелинейных задач. Его иногда успешно, иногда очень сложно заменяет множество разрозненных частных методик, каждая из которых, наряду с преимуществами, привносит в расчет и свои проблемы. Хорошо, если известна явная формула для множества решений (совокупности движений), - отмечают Рейссиг и др., но это возможно не часто [2, с. 12], и соответственно нечасто возможно прямое решение задачи. При подборе же косвенного метода решения исследователи сталкиваются с тем, что до сих пор не существует единой теории колебаний сильно нелинейных систем при отсутствии малого параметра и в появлении "странных" особенностей даже при рассмотрении достаточно простых модельных систем [3, с. 7]. Мешает также узкая применимость существующих методов. В частности, "применимость метода Крылова-Боголюбова практически определяется не сходимостью приближений при увеличении их числа, а асимптотическими свойствами рядов при фиксированном числе членов ряда и _r, стремящемся к нулю" [4, с. 308]. Это ограничивает применимость косвенных методов узкой краевой областью нелинейной механики [2, с. 12]. Кроме того, косвенные методы дают отдельные разрозненные решения, но не позволяют судить о строении семейства решений в целом [там же].

По-прежнему невозможно вычислить действительные частоты нелинейной системы. Математический аппарат теории рядов громоздок и позволяет пока вычислить лишь небольшое количество членов, но не дает способа выражения общего члена и суммы этих рядов [5, с. 305]. Огромной проблемой являются резонансные условия и поведение системы вблизи и вдали участков резонанса [5, с. 309].