38

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

5. Выводы

Выявлено, что в общем случае искомое решение задачи может быть представлено спектральным функциональным рядом, каждая гармоника которого является решением линейной системы уравнений для упругой линии с коэффициентом жёсткости, равном линейному члену разложения этого параметра в степенной ряд по амплитуде деформации связи. На характер колебаний каждой гармоники влияет степень нелинейности упругой связи и амплитуда колебаний низших гармоник. С ростом номера гармоники, её граничная частота уменьшается пропорционально номеру гармоники. Спектр резонансных частот каждой гармоники содержит спектр собственных частот, расположенный ниже граничной частоты каждой гармоники, и спектр привнесенных резонансов нижних гармоник, расположенный между собственной граничной частотой и граничной частотой первой гармоники.

Установлено, что амплитуда гармоник вне зоны резонанса убывает с ростом номера гармоники, но в случае идеальных систем это не влияет на амплитуду резонансов. Учитывая, что в общем решении задачи плотность резонансных частот растёт до бесконечности при стремлении частоты процесса к нулю, более рационально сразу учитывать сопротивление в исследуемой упругой линии для более точного описания динамических процессов. Это обусловлено тем, что при конечности амплитуд резонансов, характерном для линии с сопротивлением, рост плотности резонансных частот компенсируется быстрым уменьшением их амплитуды.

Показано, что выявленная методика рекуррентного определения гармоник динамического процесса может быть расширена на модели с нелинейным сопротивлением и на случай воздействия внешней силы сложного спектрального состава.

Благодарность:

Мы благодарны проф. д-ру Ю.В. Михлину (кафедра прикладной математики Харьковского политехнического института) и д-ру Ю.Д. Болотину (теоретический отдел Харьковского физико-технического института) за ценные комментарии по базовым аспектам метода, представленного в этой статье - в частности, по возможности расширения этого метода на модели, описываемые уравнением Дюффинга, - в ходе семинара в ХПИ в июне 2002 года.

Мы также хотели бы выразить глубокую признательность миссис Елене Норт и м-ру Адаму Норт (Оксфорд, Великобритания) за большую помощь в улучшении английского перевода этой статьи.

Литература:

1. Физический энциклопедический словарь, т. 5. Москва, Советская энциклопедия, 1966

2. Рейссиг Р., Сапсоне Г. и Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва, Наука, 1974

3. Широносов В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. Ижевск, Издательский дом “Удмуртский университет”, 2000/01

4. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. Москва, Наука, 1970

5. Джакарилья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. Москва, Наука, 1979

6. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. Москва, Мир, 1971

7. Бенарджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Москва, Мир, 1984

8. Черепенников В.Б. Метод функциональных параметров в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, 1983

9. Каравашкин С.Б. Точное аналитическое решение задачи о колебаниях в одномерной бесконечной упругой линии с сосредоточенными массами. - // Материалы, технологии, инструменты, 4 (1999), № 3, 15- 23

10. Каравашкин С.Б. Точное аналитическое решение задачи о колебаниях в одномерной конечной упругой линии с сосредоточенными массами. - // Материалы, технологии, инструменты, 4 (1999), № 4, 5- 13.

11. Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Некоторые особенности колебаний в однородной одномерной упругой линии с сосредоточенными параметрами, обладающей сопротивлением, SELF Transactions, 2 (1), (2002), 17-34

12. S. B. Karavashkin and O. N. Karavashkina, К расчету колебательных систем со сложным резонансом , SELF Transactions, 2 (1), (2002), 48- 59,

13. Каравашкин С.Б. Особенности наклонного воздействия силы на одномерную однородную упругую линию с сосредоточенными параметрами и модернизация уравнений волновой физики, обусловленная этим. - // Материалы, технологии, инструмент, 6 (2001), 4, с. 13- 19

14. Каравашкин С.Б. и Каравашкина О.Н.  Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний в однородных упругих линиях с сосредоточенными параметрами . Материалы, технологии, инструмент, 5 (2000), № 3, 1999, с.15- 23.

15. S. Каравашкин С.Б. и Каравашкина О.Н. Влияние излома одномерной упругой линии с сосредоточенными параметрами на картину колебательных процессов. . SELF Transactions, 2 (2002), 1, с. 86-100;

16. Каравашкин С.Б. и Каравашкина О.Н. Точные аналитические решения для идеальной бесконечной линии, имеющей один переход неоднородности  SELF Transactions, 2 (2002), 1, с. 60-70;

17. Пейн Г. Физика колебаний и волн. Москва, Мир, 1979

18. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. Москва, Высшая школ, 1966

19. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики, т. 3. Москва, Мир, 1970

20. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 3. Москва, Наука, 1979

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. Москва, Наука, 1968

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Москва, Наука, 1973