т.2 No 2

19

Волны сжатия в стержне

"Теоретически возможно решать любую задачу о колебаниях или о распространении напряжений в упругом теле, если к уравнениям

(7)

(8)

(9)

присоединить соответствующие граничные условия. Однако практически точные решения не получены даже в простейшем случае колебаний цилиндра конечной длины, хотя в этом частном случае можно построить решения, которые дают результаты, очень близкие к истине, когда длина цилиндра велика по отношению к его диаметру. Эта задача впервые исследована на основе уравнений упругости Похгамером [8] и независимо от него Кри [9]" [2, с.58].

Как несложно убедиться, система (7)-(9) по сути сводится к (2)-(4). А следовательно, если в общей задаче возникают некоторые вопросы к ее постановочной части, то они автоматически переносятся и на частный случай распространения волновых процессов в стержнях. Исследованию указанных проблем и посвящены были исследования, результаты которых приведены в предлагаемой статье.

2. Анализ особенностей поперечной деформации, сопутствующей продольной

Когда мы рассматриваем упругие свойства некоторой модели, обладающей конечными размерами, мы, как правило, в случае линейного моделирования отвлекаемся от ее подструктуры, усредняя свойства модели и описывающие ее параметры. Но при этом мы, конечно же, не должны забывать, что подобное усреднение допустимо только в тех пределах, пока оно не искажает физическую суть описываемых процессов. В случае пуассоновского коэффициента, "как показывает опыт, при растяжении бруска длина его увеличивается на величину deltabig.gif (843 bytes)l, ширина же уменьшается на величину  deltabig.gif (843 bytes)b = b - b1. Относительная продольная деформация равна

(10)
относительная поперечная деформация равна

(11)

Опыты показывают, что для большинства материалов epsiloncut.gif (833 bytes)1 в 3-4 раза меньше epsiloncut.gif (833 bytes)" [10, с.38].

Однако существует и несколько видоизмененное определение данного коэффициента, на которое исследователи опираются значительно чаще. "Пуассона коэффициент - абсолютное значение отношения величины относительной поперечной деформации mycut.gif (843 bytes)yxepsiloncut.gif (833 bytes)y /epsiloncut.gif (833 bytes)x или mycut.gif (843 bytes)zxepsiloncut.gif (833 bytes)z /epsiloncut.gif (833 bytes)x, где epsiloncut.gif (833 bytes)x , epsiloncut.gif (833 bytes)y и epsiloncut.gif (833 bytes)z - деформации по соответствующим осям (при растяжении образца вдоль оси x происходит сужение его поперечного сечения)" [11, т.4, с.245]. Из второго определения следует, что mycut.gif (843 bytes)  должен быть всегда положительной величиной, независимо от того, соответствует сужение образца его растяжению или нет. И это очень важно, ведь при описании динамической математической модели мы не можем в математическом выражении подменить знак при коэффициенте деформации дополнительным словесным определением в скобках. Если растяжению образца соответствует именно его сужение, то знак коэффициента mycut.gif (843 bytes)  обязательно должен быть отрицательным. Определение же коэффициента Пуассона через модуль отношений тензоров деформации приводит к тому, что в настоящее время существует целое направление исследования, изучающего возможность отрицательности коэффициента Пуассона для определённых материалов [12].

Но главное различие вышеприведенных определений заключается в том, что во втором определении сделано некоторое обобщение путем замены величины deltabig.gif (843 bytes)b, используемой в первом определении, на некоторую отвлеченную величину epsiloncut.gif (833 bytes)y, epsiloncut.gif (833 bytes)z . На первый взгляд все вполне естественно. Ведь действительно, при продольной деформации образца epsiloncut.gif (833 bytes)x появляются некоторые деформации по y и z. Но особенность процесса сопутствующей деформации состоит в том, что deltabig.gif (843 bytes)b жестко связана с deltabig.gif (843 bytes)l и ею обусловлена. Это проявляется в первую очередь в том, что изменение диаметра образца deltabig.gif (843 bytes)b предполагает направленность сопутствующей деформации по радиус-вектору от продольной оси образца к его границе. Причём это характерно как для образца в целом, так и для любой его части. Если мы выберем любой элементарный объём исследуемого образца, то сопутствующая поперечная деформация в нём также будет сохранять указанную направленность по радиус-вектору, но уже в границах выделенного элементарного объёма. В противоположность этому, тензоры epsiloncut.gif (833 bytes)y и epsiloncut.gif (833 bytes)z описывают деформацию, направленную по y и z соответственно, но не по радиус-вектору от оси выделенного объёма к периферии. Это делает замену deltabig.gif (843 bytes)b на epsiloncut.gif (833 bytes)y и epsiloncut.gif (833 bytes)z неправомерной в самой основе моделирования процесса сопутствующей деформации.

Разрыв взаимообусловленности между продольной и соответствующей ей поперечной деформацией приводит не только к появлению в математическом моделировании трех независимых дифференциальных уравнений типа (2), (3), но и, обусловленных этим, противоречий с исходным определением коэффициента Пуассона. Действительно, из независимости уравнений следует, что не только скорости распространения продольной и сопутствующей ей поперечной волны будут различными, но и их фазы запаздывания также будут различны. В свою очередь, из этого следует, что на некотором расстоянии от источника продольные и поперечные колебания должны становиться противофазными и тогда продольному удлинению элементарного сечения образца будет соответствовать его утолщение, а сжатию - соответственно утонение, что впрямую противоречит и исходному определению коэффициента Пуассона и опытным данным. И при этом, согласно второму определению, параметр mycut.gif (843 bytes), независимо от вышеуказанной синхронности или противофазности процессов, будет оставаться положительной величиной, не реагирующей на подобные изменения, нарушающие физическую сущность процессов деформации твердого тела.

Содержание: / 17 / 18 / 19 / 20 / 21 / 22 / 23 / 24 / 25 / 26 / 27 /

Hosted by uCoz