rod_rus23

т.2 No 2	23
Волны сжатия в стержне

Чтобы описать полную картину процесса изменения плотности линии во времени, необходимо учесть, что значения плотности (t) определялись в возбужденной метрике , хотя в фазовой части выражения (19) и присутствует . Чтобы это доказать, получим выражение (19) путем прямого определения плотности через дифференциал на основе решения (15), т.е.
	(20)
При условии (17), выражение (15) примет вид
	(21)
откуда
	(22)
Подставляя (22) в (20), получим выражение, полностью совпадающее с (19). Это означает, что для представления зависимости плотности в линии (, t) необходимо учитывать положение точки , в которой данная плотность наблюдается. Следовательно, результирующая зависимость (t) представима в параметрическом виде
	(23)
где значения невозмущенной метрики играют роль параметра. Характерный вид полученных решений представлен на рис. 1. Из построения видно, что с ростом амплитуды внешней силы F₀ пик в области сжатия обостряется, а градиент плотности возрастает значительно быстрее, чем в области растяжения. Как показывает решение (19), при предельном значении F₀ = T, когда в области сжатия образуется разрыв – в области растяжения плотность уменьшается только вдвое по сравнению с ₀ . При малых же амплитудах F₀, зависимость (t) приближается к синусоидальной, что может быть показано исследованием выражения (19) при F₀ / T <<1.
Рис. 1. Общий вид волны линейной плотности в полубесконечном тонком стержне при различных амплитудах внешней силы F₀
Для этого представим (, t) в виде
	(24)
При выполнении вышеуказанного условия малости амплитуды внешней силы, квадратом отношения F₀ / T можно пренебречь. Вследствие этого получим
	(25)
Таким образом, мы видим, что в рамках линейного моделирования существует дополнительный диапазон линейности решения задачи, в котором изменение плотности тонкого стержня во времени может быть представлена гармонической функцией. Кстати, именно до сих пор и отождествлялось с линейными колебаниями Из этого вытекает и обратное утверждение. Мы видим, что нелинейные колебания возникают также в рамках линейного моделирования, диапазон применимости которого оказывается шире ранее установленного на основе гармонического вида решений. Это позволяет существенно уточнить нижнюю границу нелинейного моделирования, базирующегося, как известно, на результатах, полученных при линейном моделировании. Забегая вперед, можно сказать, что в свете полученных решений, с переходом материала стержня в область текучести, в напряженной зоне уменьшится значение жесткости T, и в соответствии с решением (19) уменьшится величина предельно допустимого значения F₀. Таким образом, для реальных материалов следует ожидать уменьшения предельных нагрузок в области сжатия за счет текучести, а также вследствие увеличения градиента плотности в области сжатия, выявленного в данной работе.